Перегляд за Автор "Odintsova Oksana Oleksandrivna"
Зараз показуємо 1 - 20 з 22
Результатів на сторінці
Налаштування сортування
Документ Використання математичного моделювання в процесі навчання математичному програмуванню(2015) Одінцова Оксана Олександрівна; Odintsova Oksana OleksandrivnaРозглянуто важливість використання елементів математичного моделювання у курсі математичного програмування педагогічних ВНЗ на прикладі створення багатовимірної моделі задачі планування виробництва.Документ Використання моментів історизму при формуванні професійних компетентностей майбутніх вчителів фізики(СумДПУ імені А. С. Макаренка, 2019) Одінцова Оксана Олександрівна; Odintsova Oksana OleksandrivnaРозглянуто особливості роботи зі студентами під час вивчення курсу «Аналітична геометрія та лінійна алгебра», які впливають на формування професійних компетентностей. Оскільки професійна компетентність представляє собою динамічну комбінацію знань, умінь, навичок, цінностей і якостей особисті, яка визначає здатність особи успішно здійснювати професійну діяльність та/або подальшу навчальну діяльність, то увагу зосереджено на використанні історичних довідок в процесі навчання для формування розуміння ролі математики в житті суспільства. Обговорення зі студентами проблем стійкості сітчастих конструкцій, що були запропоновані В.Г. Шуховим, в основі яких лежать властивості однопорожнинного гіперболоїда, та деяких мостів допомагає усвідомлювати місце і роль математики в сучасному житті. З іншого боку демонструє витончене використання матеріалу, що вивчається, в архітектурі. На наш погляд, вміння характеризувати досягнення фізики та математики як наук та визначати їх роль у житті суспільства найкраще формується під час використання історичного матеріалу, відповідно до тем, що вивчаються. При вивченні аналітичної геометрії та лінійної алгебри варто також говорити про застосування властивостей і кривих другого порядку в сучасному світі (оптичні властивості, полярне рівняння кривих і астрономія), а також застосування систем лінійних рівнянь при розрахунку електромереж, розв’язуванні оптимізаційних задач чи узагальнених векторів при програмуванні ігор, тощо. Використання історичних довідок при вивченні математичних дисциплін студентами педагогічних спеціальностей вишів, особливо спеціальності 014 Середня освіта (Фізика), дозволяє сформувати правильне розуміння досягнень такої абстрактної науки, як математика, її роль та вплив на життєдіяльність сучасної людини. А це, в свою чергу, позитивно впливає на формування професійних компетентностей майбутніх вчителів.Документ Деякі теоретичні аспекти навчання учнів основної школи розв'язувати раціональні рівняння, що зводяться до квадратних(СумДПУ імені А. С. Макаренка, 2018) Одінцова Оксана Олександрівна; Odintsova Oksana Oleksandrivna; Кондик Юлія; Kondyk YuliiaУ шкільному курсі алгебри змістова лінія рівнянь та нерівностей є однією з основних. Вона має розгалужену систему внутрішньопредметних та міжпредметних зв'язків. Оволодіння різними способами розв'язування рівнянь, їх систем, серед яких і квадратні, й ті, що зводяться до таких, та їх систем сприяє розвитку мислення, пам'яті, інтуїції, вміння знаходити вихід з нестандартних ситуацій, а також відіграє пропедевтичну роль при вивченні інших розділів природничо-математичних наук. Метод заміни змінної традиційно викликає певні труднощі в учнів. Тому в статті розглянуті деякі типи раціональних рівнянь, що зводяться до квадратних шляхом використання відповідних перетворень та замін змінних. Усі розглядувані типи рівнянь вивчаються в курсі алгебри 8-го класу, поглибленого рівня навчання. До кожного типу рівнянь наведено методичні коментарі щодо їх розв'язування та відповідні приклади.Документ До питання використання елементів теорії ігор у гуртковій роботі з математики(СумДПУ імені А. С. Макаренка, 2022) Одінцова Оксана Олександрівна; Odintsova Oksana Oleksandrivna; Кіблицька Ольга Вікторівна; Kiblytska Olha Viktorivna; Захарченко Т. І.; Zakharchenko Т. І.Здатність до математичного моделювання та опрацювання математичних моделей реальних процесів є однією з цілей сучасної математичної освіти. Проте під час проведення уроків досить часто не вистачає часу на формування та розвиток знань та навичок такого виду навчальної діяльності. Результати проходження ЗНО з математики у розрізі розв’язування задач практичного змісту, міжнародного оцінювання PISA в Україні для дітей 14-15 років у 2018 році є доволі поганими. Тому доцільно для збільшення відсотку тих, хто з легкістю зможе застосовувати математику у своєму повсякденному житті, майбутній професійній діяльності, розглядати компетентнісні задачі, задачі практичного змісту також і в позакласній роботі, зокрема на заняттях математичного гуртка. Нами розроблено програму математичного гуртка для учнів від 9 до 11 класів, яка базується на вивченні елементів теорії ігор. Мета цієї програми - створення умов розвитку інтересу учнів до математики, отримання знань щодо прийняття рішень в умовах неповної інформації чи ризику та розширення загального світогляду здобувачів освіти у процесі живого розгляду різних практичних завдань. У результаті учні повинні набути навичок створювати математичні моделі реальних життєвих ситуацій, зокрема конфліктних ситуацій, аналізувати їх, знаходити рішення в них за допомогою критеріїв. Програма гуртка, розрахована на 1 годину на тиждень. Вона враховує вимоги Державного стандарту базової середньої освіти та цілей програми з математики для базової та старшої шкіл. У статті розглянуто знаходження оптимальної стратегії в іграх з природою, коли отримаємо як відповідь одну й ту саму стратегію за різними критеріями прийняття рішень, чи різні. Розглянутий у статті зміст гурткової роботи демонструє застосування математики до реальних процесів у різних галузях стосовно прийняття рішень в умовах ризику чи невизначеності, поглиблюючи розуміння самих процесів, а отримані при цьому знання є сучасними та актуальними.Документ До питання виявлення проблем при навчанні деяким теоремам у шкільному курсі геометрії поглибленого рівня та шляхів їх подолання (Частина перша: проблеми)(2024) Одінцова Оксана Олександрівна; Odintsova Oksana Oleksandrivna; Красуцька С. В.; Krasutska S. V.У 2008 році відбулися зміни у шкільній програмі з математики поглибленого рівня вивчення, зокрема поява в курсі геометрії питань, пов’язаних із зовнівписаним колом та його властивостями, теоремами Чеви, Менелая, Ейлера тощо. Але на жаль ще й досі цей матеріалнамагаються оминути вчителі при вивченні відповідних тем і, як наслідок, – геометричні задачі на математичних олімпіадах, конкурсах залишаються поза увагою переважної більшості учасників. Тому цікавою є думка вчителів, що навчають геометрії на поглибленому рівні в основній школі, стосовно проблем, які виникають у них при підготовці, розгляді та контролю знань із заявлених питань, а також пошук можливих шляхів для усунення чинного стану. Відповідно до заявленого було проведено опитування серед частини вчителів закладів загальної середньої освіти Сумської області, якінавчають геометрії на поглибленому рівні в основній школі, стосовно використання теорем Чеви та Менелая. Опитування було розроблено для двох груп вчителів: окремо для тих вчителів, що не навчають зазначеним іменним теоремам (перша група) та окремо для тих вчителів, що навчають учнів зазначеному матеріалу (друга група). Аналіз відповідей опитаних вчителів з першої групи виявив, що головними причинами того, чому вчителі не пропонують учням розглядати теореми Чеви та Менелая є:важкість розуміння матеріалу учнями – 60%; обмаль часу під час уроків – 53,3%; складність теоретичного матеріалу – 46,7%. Для другої групи розподіл відповідей на аналогічне питання був наступним: найважчим для 86% опитаних було створення методично виваженої системи задач для закріплення (через відсутність потрібних завдань із точки зору вчителя у підручнику); далі для 57% опитаних іде складність теоретичного матеріалу; і на третьому місці для 43% – важкість розуміння матеріалу учнями. Тобто для вчителів після самотужки створеної системи задач та її застосування проблема нерозуміння матеріалу учнями (з точки зору вчителя) стає дещо слабшою. В опитуванні пропонувалися питання про доцільність використання зазначених теорем під час проведення уроків, з’ясування причин нерозуміння матеріалу учнями, застосування допоміжних джерел для створення системи завдань тощо. Респондентам першої групи також було запропоновано висловити побажання щодо створення можливості навчати учнів теоремам Чеви та Менелая. Вони зазначили, що було б добре мати:можливість скористатися готовою системою задач для закріплення, у тому числі з розв'язками – 80%; наявність готових завдань для контролю знань (у тому числі і теоретичного) – 60%; допомога у опрацюванні теоретичного матеріалу – 27%. Отже, підсумовуючи результати анкетування, можна стверджувати, що головною проблемою при навчанні учнів матеріалу, пов’язаного з теоремами Чеви та Менелая є обмаль часу у вчителів для створення методично виваженої системи задач, зокрема і для контролю знань. Тобто, не дивлячись на присутність даного матеріалу в підручниках, система задач, що наявна там, не задовольняє потреб вчителів у цьому питанні. Крім того, слабо розвинена просторова уява сучасних учнів та упереджене ставлення їх до геометрії стають серйозними перешкодами на шляху опанування матеріалу та застосування його у майбутньому.Документ До питання навчання студентів створенню багатовимірних моделей економічних задач(ФОП Цьома С. П., 2017) Одінцова Оксана Олександрівна; Odintsova Oksana OleksandrivnaРозглянуто важливість використання елементів математичного моделювання у курсі математичного програмування педагогічних ВНЗ на прикладі створення багатовимірних моделей економічних задач, що вивчаються в лінійному програмуванні.Документ До питання розв’язування рівнянь, що містять цілу та дробову частини числа, графічним способом(СумДПУ імені А. С. Макаренка, 2020) Одінцова Оксана Олександрівна; Odintsova Oksana OleksandrivnaРозглянуто особливості застосування графічного методу до розв’язування рівнянь з цілою та дробовою частинами числа, що дозволяє поліпшити розуміння графічного матеріалу взагалі, розуміння взаємозв’язків різних розділів математики та підготуватися до математичних змагань. Формулювання проблеми. Графічному способу розв’язування рівнянь та їх систем у шкільному курсі математики приділяється мало уваги, навіть при вивченні на поглибленому рівні. Більшість вчителів оминають цей спосіб розв’язувань навіть при роботі із сильними учнями та з матеріалом, де застосування графічного способу є природнім. Такими є, наприклад, рівняння, що містять цілу та дробову частини числа, які постійно пропонуються на математичних змаганнях різних рівнів. Труднощі, що виникають при застосуванні графічного способу до розв’язування рівнянь з цілою та дробовою частинами числа, викликані специфікою зазначених числових функцій та пов’язаного з ними математичного апарату з одного боку, а з іншого – невмінням учнів/ студентів графічно інтерпретувати суто алгебраїчний матеріал і робити зворотний перехід. Матеріали і методи. Загально алгебраїчні методи з використанням основних фактів теорії чисел, теорії елементарних та спеціальних функцій, аналіз навчально-методичної і математичної літератури щодо розв’язування графічним способом рівнянь, які містять цілу та дробову частини числа, аналіз та узагальнення власного педагогічного досвіду та педагогічного досвіду провідних вчителів та науковців. Результати. Розкрито особливості застування графічного методу до розв’язування рівнянь з цілою та дробовою частинами, що базується на 4 класичних алгоритмах побудови графіків функцій у = ƒ([х]), у = [ƒ(х)], у = ƒ({х}), у = {ƒ(х)}. Пропонується застосовувати цей метод у дещо розширеному вигляді з метою знаходження точних розв’язків з урахуванням умов вихідного або перетвореного рівняння. Матеріал, розглянутий у статті, є частиною курсу «Олімпіадна математика», що читається студентаммагістрантам спеціальності 014 Середня освіта (Математика), а також пропонується учням при підготовці до олімпіад з математики. Висновки. Графічний спосіб розв’язування рівнянь та їх систем слід застосовувати не тільки до запропонованих у статті рівнянь або, тих, що розв’язуються цим способом у регулярному курсі шкільної математики. Це дозволить не тільки покращити графічну культуру учнів, розвинути вміння застосовувати графічний матеріал в суто алгебраїчних питаннях: від оцінки кількості коренів рівняння до його повного розв’язання, поглиблюючи та систематизуючи отримані знання, розвиваючи логічне та алгоритмічне мислення, але й демонструвати взаємозв’язки різних розділів математики та їх взаємопроникнення.Документ До питання розв’язування рівнянь, що містять цілу та дробову частині числа(ФОП Цьома С. П., 2020) Одінцова Оксана Олександрівна; Odintsova Oksana OleksandrivnaВ тезах розглянуто деякі способи розв’язування рівнянь, що містять цілу та дробову частину числа, зокрема, використання означення відповідної числової функції, використання мішаної системи, спосіб локалізації, графічний спосіб, а також відповідні методичні аспекти навчання. Зазначено, що велика кількість рівнянь з цілою та дробовою частинами можна розв’язувати більше ніж одним способом, наведено відповідні приклади. Продемонстровано важливість опанування даних способів студентами педагогічних ЗВО.Документ Критеріальні умови в задачах теорії ігор(2021) Кіблицька Ольга Вікторівна; Kiblytska Olha Viktorivna; Одінцова Оксана Олександрівна; Odintsova Oksana OleksandrivnaВ магістерській роботі розглянуто один з розділів прикладної математики - теорію ігор, яка має дуже важливе значення для штучного інтелекту, кібернетики та економіки. Проведено аналіз основних досліджень та публікацій. Розкрито основні поняття теорії гри: хід гравця, особистий хід, випадковий хід, платежі, стратегія гравця. Наведено основні типи ігор. Розкрито принцип мінімакса, поняття сідлової точки. Наведено приклади класичних задач із розв’язуванням та аналізом розв’язків. Надано характеристику матричних ігор, які розв’язуються в чистих та змішаних стратегіях. Розглянуто алгоритм перетворення матричних ігор в задачі лінійного програмування та методи їх розв’язування. Розглянуто поняття ігри з природою, наведено критерії прийняття рішень в умовах ризику та повної невизначеності, проілюстровано прикладами їх застосування. Створено низку задач, які розв’язано розглядуваними критеріями, проведено аналіз одержаних розв’язків.Документ Науковометодичні особливості викладання математичного програмування в умовах кредитно-модульної системи(2011) Одінцова Оксана Олександрівна; Odintsova Oksana Oleksandrivna; Микитенко Наталія Олександрівна; Mykytenko Nataliia OleksandrivnaУ дослідженні увага звертається на викладання курсу математичного програмування у педагогічних вузах в умовах кредитно-модульної системи. Мета дослідження – активізувати самостійну роботу студентів і сприяти більш глибокому засвоєнню розділу математики «Математичне програмування».Документ Обернене навчання та виклики сьогодення(ФОП Цьома С. П., 2020) Одінцова Оксана Олександрівна; Odintsova Oksana Oleksandrivna; Гавриленко Марина; Havrylenko MarynaВ тезах розглянуто базові положення технології навчання «перевернутий клас» як однієї із методик персоналізації навчання.Документ Особливості використання оберненого навчання у старшій школі (на прикладі вивчення теми «Показникова та логарифмічна функції»)(2020) Гавриленко Марина Сергіївна; Havrylenko Maryna Serhiivna; Одінцова Оксана Олександрівна; Odintsova Oksana OleksandrivnaУ магістерській роботі розглянуто використання моделі «оберненого навчання» в старшій школі на уроках алгебри і початків аналізу, показано переваги і недоліки моделі «перевернутого» класу в порівнянні з традиційним методами навчання математики. Розглянуто методичні особливості навчання теми «Показникова та логарифмічна функції», розроблена методика викладання даної теми у «перевернутому» класі. Проаналізовано відповідний навчальний матеріал з алгебри і початків аналізу для учнів 10-11 класів.Документ Особливості навчання елементам тригонометрії в шкільному курсі математики(2020) Уварова Лідія Михайлівна; Uvarova Lidiia Mykhailivna; Одінцова Оксана Олександрівна; Odintsova Oksana OleksandrivnaУ магістерській роботі розглянуто властивості тригонометричних функцій, показано реалізацію принципу неперервності навчання на прикладі вивчення елементів тригонометрії. Проаналізовано відповідний навчальний матеріал з геометрії для учнів 8-9 класів та з алгебри і початків аналізу для учнів 10 класів. Розглянуто методичні особливості навчання темам, що охоплюють тригонометричні функції, розроблено методичні схеми розв’язування прямокутних і косокутних трикутників та конспекти уроків на теми: «Розв’язування трикутників. Прикладні задачі» (8 клас), «Розв’язування трикутників. Прикладні задачі» (9 клас), «Радіанна міра кутів» (10 клас), «Основі співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу» (10 клас).Документ Особливості розв’язування стереометричних задач зно з математики через призму аналізу сертифікаційної роботи(СумДПУ імені А. С. Макаренка, 2022) Одінцова Оксана Олександрівна; Odintsova Oksana OleksandrivnaМатематика поряд з українською мовою є тією дисципліною, яка постійно пропонується на зовнішньому незалежному оцінюванні знань. Але, не дивлячись на тривалий термін входження до переліку предметів, що підпадають під ЗНО, питання, пов’язані із формулюванням, розв ’язанням завдань з математики, так і з самим переліком завдань, що виносяться для зовнішнього незалежного оцінювання, залишаються актуальними. Аналізуючи щорічні звіти УЦОЯО, а саме частину пов’язану із розв’язанням завдань, можна побачити, що одними зі складних завданнями були і залишаються геометричні завдання, зокрема завдання зі стереометрії. Побудова малюнка - важлива частина розв’язування будь-якої стереометричної задачі. Малюнок не тільки допомагає унаочнити умову задачі, побачити зв’язки між елементами фігури, а також встановити, чи розуміє учасник ЗНО умову задачі, чи вміє оперувати елементами зображення просторової фігури. Стаття присвячена науково-методичним особливостям побудови зображень просторових тіл та їх перерізів, виходячи із аналізу типових помилок при розв’язуванні стереометричних завдань сертифікаційної роботи. Оскільки базою методу основної площини (що є головним методом побудови зображень у шкільному курсі геометрії) є паралельне проєктування, то увагу приділено інваріантам цього проєктування, правилам побудови проекцій плоских фігур та їх елементам. Стисло розкрито правила побудови зображень основних просторових фігур, а також правила методу «слідів січної площини» - методу побудови перерізів. У статті звертається увага на обережному використанні динамічної наочності під час навчання стереометрії та на виділення достатнього часу для формування та розвитку навичок створювати зображення просторових тіл. Наведено методичні рекомендації і ряд прикладів, що допоможуть узагальнити знання щодо визначення кутів між прямою і площиною та між двома площинами. Поряд із перевіркою знань, участь у ЗНО - це ще і вміння організувати власну діяльність. Тому в статті сформульовано рекомендації до оптимальної організації власних дій учасника зовнішнього незалежного оцінювання як на під час проходження оцінювання, так і на етапі підготовки.Документ Особливості створення математичних моделей задач, що вивчаються в лінійному програмуванні(СумДПУ імені А. С. Макаренка, 2016) Одінцова Оксана Олександрівна; Odintsova Oksana OleksandrivnaУ статті аргументовано важливість навчання елементам математичного моделювання майбутніх вчителів математики. Розкрито сутність таких понять як математична модель та математичне моделювання для прикладних задач. Наведено приклади створення багатовимірних моделей таких задач лінійного програмування як: задача планування виробництва, задача складання раціону та задача про розкрій. Для задачі складання раціону розглянуто як частинний так і загальний випадки. Наведено методичні коментарі щодо створення моделей всіх розглядуваних задач, а до деяких з них,– список питань, що доцільно обговорити під час або після створення моделі. Встановлено вплив створення моделей зазначених задач на процес навчання математичному програмуванню.Документ Про алгоритм гейла-шеплі та можливості його використання в позакласній роботі з математики(СумДПУ імені А. С. Макаренка, 2020) Одінцова Оксана Олександрівна; Odintsova Oksana Oleksandrivna; Кудлай. А. Б.; Kudlai A. B.Сучасні математичні ідеї є доволі складними для розуміння учнями навіть старшої школи як з математичної, так і з термінологічної точок зору. Про те серед них є і виключення, як-то алгоритм Гейла-Шеплі (алгоритм утворення стійких пар), що отримав Нобелівську премію 2012 року в галузі економіки. Даний алгоритм цікавий тим, що демонструє сучасне застосування математичної думки до розв’язування конкретних практичних задач (вступ до університетів, підбір донорів, відбір претендентів на посади, тощо). У статті розглянуто три задачі, що розв’язуються за допомогою алгоритму ГейлаШеплі: задача про мар’яж (одруження), задача про вибір фруктів, задача про вступ. Перша задача є класичним прикладом реалізації всіх кроків алгоритму, на її прикладі розглянуто особливості цього алгоритму, відмінності «чоловічих» та «жіночих» розподілів, оцінено ці розподіли на оптимальність. У другій задачі продемонстровано як змінюється алгоритм, коли елементи однієї з множин не впливають на вибір. У третій задачі, на прикладі реальних осіб – випускників Лебединської ЗОШ № 6, показано як алгоритм Гейла-Шеплі працює в сучасній українській системі розподілу абітурієнтів до університетів. Також у статті зазначено методичні особливості застосування таких задач у позакласній роботі з математики та користь цього застосування. Знання розглянутого у статті алгоритму утворення стабільних пар буде корисним кожному викладачу математики, учням та студентам, оскільки цей алгоритм не тільки демонструє застосування математики до реальних процесів у різних галузях, поглиблюючи розуміння самих процесів, а отримувані при цьому знання є сучасними та актуальними.Документ Розвиток просторової уяви учнів при розв’язуванні конструктивних задач на побудову на уроках стереометрії(СумДПУ імені А. С. Макаренка, 2019) Приходько Олена; Prykhodko Olena; Одінцова Оксана Олександрівна; Odintsova Oksana OleksandrivnaУ даній статті розглянуто важливість розв ’язування задач на побудову на уроках стереометрії в школі, що сприятиме формуванню просторових уявлень та просторової уяви учнів. Висновки зроблені на основі аналізу публікацій дослідників та звітної документації щодо результатів ЗНО 2018.Документ Роль міжпредметних зв’язків математики та економіки при створенні багатовимірних моделей задач(СумДПУ імені А. С. Макаренка, 2017) Одінцова Оксана Олександрівна; Odintsova Oksana OleksandrivnaУ статті аргументовано важливість навчання елементам математичного моделювання майбутніх вчителів математики та роль, яку відіграють міжпредметні зв’язки при цьому. Розкрито сутність понять: математична модель та математичне моделювання для прикладних задач, міжпредметні зв ’язки; напрямки реалізації останніх у навчальному процесі. Наведено приклади створення багатовимірних моделей задач дробово- лінійного програмування, при якому важливим є знання таких економічних термінів як: собівартість продукції, рентабельність виробництва, рентабельність продукції. Для задач розглянуто як частинний так і загальний випадки. Наведено методичні коментарі щодо створення моделей всіх розглядуваних задач. Встановлено вплив створення моделей зазначених задач на процес навчання математичному програмуванню та виокремленню міжпредметних зв ’язків, що виникають при цьому.Документ Структурні властивості раціональних чисел – важлива складова математичних знань вчителів математики(СумДПУ імені А. С. Макаренка, 2018) Лиман Федір Миколайович; Lyman Fedir Mykolaiovych; Одінцова Оксана Олександрівна; Odintsova Oksana OleksandrivnaУ статті досліджуються деякі властивості поля (Q; +, •; 0, 1) раціональних чисел, його підкілець та підгруп адитивної групи (Q; +; 0) і мультиплікативної групи (Q \ {0}; •; 1) цього поля. Одним із основних підкілець поля раціональних чисел є кільце цілих чисел. Стимулом його розширення до мінімального числового поля, яким є поле раціональних чисел, є проблема розв'язності рівняння ax = b з цілими коефіцієнтами. Умова мінімальності поля, де назване рівняння має розв'язок при а / 0, дає відповідь на питання про зображення довільного раціонального числа часткою двох цілих чисел. Отже, множина раціональних чисел Q = Z и Q \ Z, де Z- множина цілих чисел, а Q \ Z- множина дробових чисел. Загальновідомим є однозначне подання будь-якого раціонального числа q / 0 нескоротним дробом. Проте, однозначних записів ненульових раціональних чисел існує нескінченна кількість. Наприклад, цікавим і корисним у багатьох задачах є однозначне подання раціонального числа q > 0 у вигляді: q = pnfL, де р - просте натуральне число, n є Z, a і b - b натуральні числа, причому (a,b) = (a, p) = (b, p) = 1. Для q< 0 відповідно матимемо: q = -n" a . b Стосовно кілець раціональних чисел, розглянуто питання їх дискретності та щільності. Доведено, зокрема, що щільним буде кожне підкільце поля раціональних чисел, яке містить дробове число. При дослідженні властивостей числових полів, яких не має поле раціональних чисел, продемонстровано доведення його неповноти без використання ірраціональних чисел. При розгляді адитивних і мультиплікативних груп раціональних чисел запропоновано одне з можливих доведень того, що група автоморфізмів групи (Q; +; 0) ізоморфна групі (Q \ {0}; •; 1), а група автоморфізмів підгруп групи (Q; +; 0) ізоморфна підгрупам групи (Q \ {0}; •; 1). Цей факт проілюстровано на прикладі групи (Z; + ; 0) цілих чисел та групи (Qp; +; 0) р-ових дробів для довільного простого числа р. Знання цих фактів допоможе вчителю математики поглибити та осучаснити знання учнів про систему раціональних чисел.Документ Формування предметних компетентностей майбутніх вчителів фізики та математики засобами та технологіями cучасного освітнього середовища(СумДПУ імені А. С. Макаренка, 2020) Завражна Олена Михайлівна; Zavrazhna Olena Mykhailivna; Салтикова Алла Іванівна; Saltykova Alla Ivanivna; Шкурдода Юрій Олексійович; Shkurdoda Yurii Oleksiiovych; Мороз Іван Олексійович; Moroz Ivan Oleksiiovych; Каленик Михайло Вікторович; Kalenyk Mykhailo Viktorovych; Іваній Володимир Степанович; Ivanii Volodymyr Stepanovych; Одінцова Оксана Олександрівна; Odintsova Oksana Oleksandrivna; Мартиненко Олена Вікторівна; Martynenko Olena Viktorivna; Шишенко Інна Володимирівна; Shyshenko Inna Volodymyrivna; Чкана Ярослав Олегович; Chkana Yaroslav Olehovych; Drushliak Maryna Hryhorivna; Друшляк Марина Григорівна; Коваленко Наталія Володимирівна; Kovalenko Nataliia Volodymyrivna; Осьмук Наталія Григорівна; Osmuk Nataliia Hryhorivna; Пухно Світлана Валеріївна; Pukhno Svitlana Valeriivna; Балабан Ярослав Романович; Balaban Yaroslav RomanovychУ монографії, що є результатом колективної праці педагогів науковців, висвітлено теоретико‐методичні засади формування предметних компетентностей майбутніх вчителів фізики та математики засобами та технологіями сучасного освітнього середовища. У виданні розкрито основні питання формування спеціальних фахових компетентностей майбутніх учителів фізики та математики під час навчання фізики та методики її навчання, під час навчання дисциплін математичного циклу та питання формування предметних компетентностей дисциплін психолого-педагогічного циклу. Монографія розрахована на широке коло читачів, а також викладачів, аспірантів і студентів усіх форм навчання.