До питання виявлення проблем при навчанні деяким теоремам у шкільному курсі геометрії поглибленого рівня та шляхів їх подолання (частина друга: шляхи усунення проблем).
Вантажиться...
Дата
2024
Назва журналу
Номер ISSN
Назва тому
Видавець
Гельветика
Анотація
Відповідно до результатів опитування вчителів математики щодо виключення з розгляду питань, пов’язаних з вивченням теорем Чеви та Менелая, головними причинами такого становища є: обмаль часу у вчителів для створення методично виваженої системи задач, зокрема і для контролю знань. Тобто, не дивлячись на присутність даного матеріалу в підручниках, система задач, що наявна там, не задовольняє потреб вчителів у цьому питанні. Крім того, слабо розвинена просторова уява сучасних учнів та упереджене ставлення їх до геометрії стають серйозними перешкодами на шляху опанування матеріалу та застосування його у майбутньому.
Ця стаття присвячена формуванню шляхів виходу із зазначеної ситуації на основі принципу виділення «ядра знань» при роботі в класі: зупинятися безпосередньо на формулюванні самих теорем Чеви, Менелая та на нескладних задачах щодо їх використання, зокрема до встановлення відомих фактів про лінії в трикутнику, та на задачах за готовими малюнками; решту матеріалу варто виносити на позакласні заходи для зацікавлених учнів. При чому на початку потрібно розглядати теореми Чеви і Менелая у синергії, оскільки формулювання цих теорем пов’язані за малим принципом двоїстості, а також через доволі схожі способи їх застосування. Головним при цьому є виокремлення (розгляд) потрібного трикутника, визначення напряму його «обходу», записом відповідних співвідношень та знаходження довжин потрібних відрізків (синусів відповідних кутів) або їх відношень.
У статті наведено порівняльну таблицю з 8 доведень про існування та єдиність центроїду, інцентру та ортоцентру трикутника з використанням теорем Чеви та Менелая (у формулюванні як через відношення довжин відрізків, так і в тригонометричній формі). Розписано, які з доведень краще використовувати при вивченні відповідних тем, які – при вивченні інших, зокрема «Співвідношення у прямокутному трикутнику», а які – у позакласній роботі.
Також наведено задачу про точку Нагеля (як точку перетину відрізків, які сполучають вершини трикутника з точками дотику зовнівписаних кіл), задачу на використання теореми Менелая та для закріплення знань про різні відрізки у трикутнику, знання останніх стає у нагоді при розв’язуванні задач на математичних олімпіадах.
На останок, розглянуто задачу, розв’язування якої безпосередньо демонструє користь від теореми Менелая: воно скорочується, а рисунок до задачі стає менш захаращеним.
Наведені у статті підходи до навчання учнів теоремам Чеви і Менелая можуть бути розширені задачами на доведення, обчислення (відрізків, кутів). Паралельно можна робити ознайомлення учнів із олімпіадними задачами минулих років, розв’язування яких базувалося на розглядуваних теоремах.
According to the results of a survey of mathematics teachers regarding the exclusion from consideration of questions related to the study of the Cheva’s and Menelaus’ theorems. The main reasons for this situation are: lack of time for teachers to create a methodically balanced system of tasks, in particular, to control knowledge. That is, despite the presence of this material in textbooks, the system of tasks available there does not satisfy the needs of teachers in this matter. In addition, the poorly developed spatial imagination of modern students and their prejudiced attitude to geometry become serious obstacles on the way to mastering the material and applying it in the future. This article is devoted to the formation of ways out of the specified situation based on the principle of identifying the "core of knowledge" when working in the classroom: focusing directly on the formulation of the Cheva’s and Menelaus theorems and on simple tasks related to their use, in particular, to establishing known facts about lines in a triangle, and on tasks based on readymade drawings; the rest of the material should be taken to extracurricular activities for interested students. The main thing is to select (consider) the desired triangle, determine the direction of its "rounding", write down the corresponding ratios and find the lengths of the required segments (sines of the corresponding angles) or their ratios. There is provided a comparative table of 8 proofs of the existence and unity of the centroid, incenter, and orthocenter of a triangle using the Cheva’s and Menelaus theorems (formulated both through the ratio of segment lengths and in trigonometric form) in the article. It is written which of the proofs are better to use when studying relevant topics, which – when studying others, in particular "Ratio in a right triangle", and which – in extracurricular work. There is also consider a problem about the Nagel point (as a point of intersection of segments that connect the triangles vertices with the points of contact of external circles), a problem for using Menelaus' theorem and for consolidating knowledge about different segments in a triangle, knowledge of the latter comes in handy when solving problems on mathematical Olympiads. Finally, we consider a problem whose solution directly demonstrates the benefit of Menelaus' theorem: it is shortened, and the drawing for the problem becomes less cluttered. The approaches to teaching students Cheva’s and Menelaus' theorems presented in this article can be extended with problems of proof and calculation (of segments and angles). At the same time, students can be introduced to the previous years’ Olympiad’s problems, the solution of which was based on the theorems under consideration.
According to the results of a survey of mathematics teachers regarding the exclusion from consideration of questions related to the study of the Cheva’s and Menelaus’ theorems. The main reasons for this situation are: lack of time for teachers to create a methodically balanced system of tasks, in particular, to control knowledge. That is, despite the presence of this material in textbooks, the system of tasks available there does not satisfy the needs of teachers in this matter. In addition, the poorly developed spatial imagination of modern students and their prejudiced attitude to geometry become serious obstacles on the way to mastering the material and applying it in the future. This article is devoted to the formation of ways out of the specified situation based on the principle of identifying the "core of knowledge" when working in the classroom: focusing directly on the formulation of the Cheva’s and Menelaus theorems and on simple tasks related to their use, in particular, to establishing known facts about lines in a triangle, and on tasks based on readymade drawings; the rest of the material should be taken to extracurricular activities for interested students. The main thing is to select (consider) the desired triangle, determine the direction of its "rounding", write down the corresponding ratios and find the lengths of the required segments (sines of the corresponding angles) or their ratios. There is provided a comparative table of 8 proofs of the existence and unity of the centroid, incenter, and orthocenter of a triangle using the Cheva’s and Menelaus theorems (formulated both through the ratio of segment lengths and in trigonometric form) in the article. It is written which of the proofs are better to use when studying relevant topics, which – when studying others, in particular "Ratio in a right triangle", and which – in extracurricular work. There is also consider a problem about the Nagel point (as a point of intersection of segments that connect the triangles vertices with the points of contact of external circles), a problem for using Menelaus' theorem and for consolidating knowledge about different segments in a triangle, knowledge of the latter comes in handy when solving problems on mathematical Olympiads. Finally, we consider a problem whose solution directly demonstrates the benefit of Menelaus' theorem: it is shortened, and the drawing for the problem becomes less cluttered. The approaches to teaching students Cheva’s and Menelaus' theorems presented in this article can be extended with problems of proof and calculation (of segments and angles). At the same time, students can be introduced to the previous years’ Olympiad’s problems, the solution of which was based on the theorems under consideration.
Опис
Ключові слова
навчання геометрії на поглибленому рівні, теорема Чеви, теорема Менелая, центроїд, інцентр, ортоцентр, позакласна робота з математики, олімпіада з математики, teaching geometry at an advanced level, Cheva's theorem, Menelaus' theorem, centroid, incenter, orthocenter, extracurricular work in mathematics, mathematics Olympiad
Бібліографічний опис
Одінцова, О. О. До питання виявлення проблем при навчанні деяким теоремам у шкільному курсі геометрії поглибленого рівня та шляхів їх подолання (частина друга: шляхи усунення проблем) [Текст] / О. О. Одінцова, Красуцька С. В. // Актуальні питання природничо-математичної освіти : збірник наукових праць. Вип. 2 (24) / Міністерство освіти і науки України, Сумський державний педагогічний університет імені А. С. Макаренка ; [ред. рада.: М. І. Бурда, Л. В. Кондрашова, М. Гарнер, В. Б. Мілушев та ін.]. – Суми : [СумДПУ імені А. С. Макаренка], 2024. – С. 168–177. – DOI: 10.5281/zenodo.14634680