The Inequalities of Helder and Minkovsky and Their Generalizations
Вантажиться...
Дата
2025
Автори
Назва журналу
Номер ISSN
Назва тому
Видавець
Анотація
Formulation of the Problem. A large amount of mathematical literature is devoted to classical inequalities. Helder's inequalities, a special case of which is the Cauchy-Buniakovsky inequality, as well as Minkowski's, which is a polygon inequality in a normed space, underlie the geometry of unitary and normed spaces - finite and infinite-dimensional (Banach). The article considers the generalization of these constructions - both in discrete form, that is, for finite sums and series, and for integrals. It is essential that inequalities for sums are proved by elementary methods, without the use of differential calculus. The results obtained can be used in scientific activities for evaluating some expressions in the form of sums or integrals, as well as by students in preparation for Olympiads and even for studying mathematics in school circles.
Materials and Methods. To prove the generalized Minkowski inequality and the integral inequalities of Helder and Minkowski, the generalized Helder inequality for sums, which was previously obtained by the author which, in turn, was derived from Cauchy's inequality.
Results. The generalized Minkowski inequalities were proved for finite sums and infinite series with non-negative members and the integral for non-negative functions, as well as the generalized integral Helder inequality and, in a special case, the Cauchy-Bunyakovsky inequality.
Conclusion. The application of the generalized Helder and Minkowski inequalities for sums, series, and integrals is a fairly effective method that allows you to obtain interesting consequences, important estimates – you only need to successfully select finite-dimensional or infinite-dimensional vectors or functions and apply the proved inequalities to them. On this path, there is a great deal of space for creative activity.
Постановка задачі. Велика кількість математичної літератури присвячена класичним нерівностям. Нерівності Гельдера, окремим випадком яких є нерівність Коші-Буняковського, а також нерівність Мінковського, що є нерівністю многокутника в нормованому просторі, які лежать в основі геометрії унітарних та нормованих просторів – скінченних та нескінченновимірних. У статті розглядається узагальнення цих конструкцій – як у дискретній формі, тобто для скінченних сум та рядів, так і для інтегралів. Істотно, що нерівності для сум доводяться елементарними методами, без використання диференціального числення. Отримані результати можуть бути використані в науковій діяльності для обчислення деяких виразів у вигляді сум або інтегралів, а також учнями при підготовці до олімпіад і навіть для вивчення математики в шкільних гуртках. Матеріали і методи. Для доведення узагальненої нерівності Мінковського та інтегральних нерівностей Гельдера та Мінковського використана узагальнена нерівність Гельдера для сум, яка була раніше отримана автором і, у свою чергу, була виведена з нерівності Коші. Результати. Було доведено узагальнені нерівності Мінковського – для скінченних сум та нескінченних рядів з невід'ємними членами та інтеграл для невід'ємних функцій, а також узагальнену інтегральну нерівність Гельдера та, в окремому випадку, нерівність Коші-Буняковського. Висновки. Застосування узагальнених нерівностей Гельдера та Мінковського для сум, рядів та інтегралів є досить ефективним методом, який дозволяє отримати цікаві наслідки, важливі оцінки – потрібно лише успішно вибрати скінченновимірні або нескінченновимірні вектори чи функції та застосувати до них доведені нерівності. На цьому шляху є великий простір для творчої діяльності.
Постановка задачі. Велика кількість математичної літератури присвячена класичним нерівностям. Нерівності Гельдера, окремим випадком яких є нерівність Коші-Буняковського, а також нерівність Мінковського, що є нерівністю многокутника в нормованому просторі, які лежать в основі геометрії унітарних та нормованих просторів – скінченних та нескінченновимірних. У статті розглядається узагальнення цих конструкцій – як у дискретній формі, тобто для скінченних сум та рядів, так і для інтегралів. Істотно, що нерівності для сум доводяться елементарними методами, без використання диференціального числення. Отримані результати можуть бути використані в науковій діяльності для обчислення деяких виразів у вигляді сум або інтегралів, а також учнями при підготовці до олімпіад і навіть для вивчення математики в шкільних гуртках. Матеріали і методи. Для доведення узагальненої нерівності Мінковського та інтегральних нерівностей Гельдера та Мінковського використана узагальнена нерівність Гельдера для сум, яка була раніше отримана автором і, у свою чергу, була виведена з нерівності Коші. Результати. Було доведено узагальнені нерівності Мінковського – для скінченних сум та нескінченних рядів з невід'ємними членами та інтеграл для невід'ємних функцій, а також узагальнену інтегральну нерівність Гельдера та, в окремому випадку, нерівність Коші-Буняковського. Висновки. Застосування узагальнених нерівностей Гельдера та Мінковського для сум, рядів та інтегралів є досить ефективним методом, який дозволяє отримати цікаві наслідки, важливі оцінки – потрібно лише успішно вибрати скінченновимірні або нескінченновимірні вектори чи функції та застосувати до них доведені нерівності. На цьому шляху є великий простір для творчої діяльності.
Опис
Ключові слова
Hölder's inequality, Minkowski's inequality, vector, linear space, norm, integral, integral inequality, нерівність Гелдера, нерівність Мінковського, вектор, лінійний простір, норма
Бібліографічний опис
Bokhonov Y. The Inequalities of Helder and Minkovsky and Their Generalizations [Техt] / Y. Bokhonov // Фізико-математична освіта : науковий журнал / Міністерство освіти і науки України, Сумський державний педагогічний університет імені А. С. Макаренка, Фізико-математичний факультет ; [редкол.: М. П. Вовк, М. Гр. Воскоглу, М.Г. Друшляк та ін.]. – Суми : [СумДПУ імені А. С. Макаренка], 2025. – Вип. 4 (40). – С. 18–22. – DOI: 10.31110/fmo2025.v40i4-03