Формування сучасного математичного підходу до вирішення проблем фізики
Вантажиться...
Дата
2022
Автори
Назва журналу
Номер ISSN
Назва тому
Видавець
СумДПУ імені А. С. Макаренка
Анотація
Постановка проблеми. Точні дослідження бозона Хіггса, суперсиметричних частинок, магнітного моменту мюона, електричного дипольного моменту електрона, аномалій аромату демонструють відхилення від Стандартної моделі. Вони пов'язані з новим розумінням квантової теорії поля через об'єднання гравітації з фізикою елементарних частинок в рамках теорії струн - потужного інструменту, який змінив картину теорії. Стаття присвячена вивченню нової фізики через ці дві складові. Спочатку ми розглянули фізику елементарних частинок з точки зору останніх експериментальних даних, а потім перейдемо до математичного апарату теорії струн.
Матеріали та методи. Теорія Янга-Мілса N = 2 є аналогом гетеротичної струни, що визначається у десятивимірному просторі: чотири звичайні просторово-часові координати та шість додаткових вимірів, відомих як многовиди Калабі-Яу у зваженому проективному просторі. Ми досліджували многовиди Калабі-Яу в термінах як диференціальних форм, так і рефлексивних багатогранників, щоб отримати інформацію про елементарні частинки. Для подальшої роботи з многовидами Калабі-Яу були використані диференціальні форми для обчислення груп когомологій та рефлексивні багатогранники для обчислення чисел Ходжа. Ми використали два визначення загальних властивостей торичних многовидів: як гіперповерхні в термінах диференціальних форм і як проективний простір у термінах рефлексивного багатогранника. Потім ми досліджували гратчасті многогранники ∆, які породжують сімейства гіперповерхень Калабі-Яу у зваженому проективному просторі P∆. Такі багатогранники допускають комбінаторну характеристику і називаються рефлексивними.
Результати. Порівняння двох підходів до опису многовиду Калабі- Яу як комплексного многовиду і як зваженого проективного простору привело нас до висновку про еквівалентність цих двох трактувань у контексті обчислення характеристики Ейлера. Оскільки характеристикою Ейлера для фізики елементарних частинок є кількість поколінь кварків і лептонів, вибір многовидів Калабі-Яу з відповідними топологічними властивостями є однією з актуальних проблем сучасної фізики. Необхідно підкреслити, що важливим результатом нашої роботи є збіг значення ейлерової характеристики, знайденої в термінах когомології Дольбо і в термінах рефлексивного поліедра. Отримана інформація про топологічні інваріанти необхідна для прогнозування кількості поколінь у фізиці елементарних частинок.
Висновки. Хоча єдиної теорії всіх взаємодій поки що не знайдено, однак певні аспекти, пов’язані з трактуванням єдиної теорії всіх взаємодій з точки зору сучасної математики, дають свої вагомі результати. Тому використання та розробка апарату алгебраїчної геометрії для пошуку топологічних інваріантів, що мають значення спостережуваних у фізиці, є актуальним завданням.
Formulation of the problem. Precision studies of the Higgs boson, supersymmetric particles, the magnetic moment of the muon, electric dipole moment of the electron, flavor anomalies demonstrate the deviation beyond Standard Model. They are connected with a new understanding of quantum field theory through the unification of gravity with particle physics in the framework of string theory - the powerful instrument, which has changed the theory picture. The article is devoted to the study of new physics through these two components. First, we considered particle physics in terms of the latest experimental data and then moved on to the mathematical apparatus of string theory. Materials and methods. The N = 2 Yang-Mills theory is the heterotic string analog determined in ten-dimensional space: four usual space-time coordinates and six extra dimensions, known as Calabi-Yau manifold in weighted projective space. We studied the Calabi-Yau manifold in terms of both differential forms and reflexive polyhedrа to extract the elementary particle information. For further work with Calabi-Yau manifolds, differential forms for calculation of cohomology groups and reflexive polyhedrа for calculation of Hodge numbers were used. We used two definitions of general properties of toric varieties: hypersurfaces in terms of differential forms and projective space in terms of reflexive polyhedral. Then we investigated lattice polyhedra ∆ which gives rise to families of Calabi-Yau hypersurfaces in weighted projective space, P∆. Such polyhedra admit a combinatorial characterization and are called reflexive polyhedra. Results. The comparison of two approaches to the description of Calabi- Yau manifold as a complex manifold and as weighted projective space led us to the conclusion about the equivalence of these two treatments in the context of calculation of the Euler characteristic. As Euler’s characteristic for elementary particle physics is the number of generations of quarks and leptons, the selection of Calabi-Yau manifolds with appropriate topological properties is one of the urgent problems of modern physics. It is necessary to stress that the important result of our paper is the coincidence of the value of the Euler characteristic, found in terms of Dolbeault cohomology and terms of reflexive polyhedral. The obtained information about topological invariants is necessary for predicting the number of generations in particle physics. Conclusions. Although a unified theory of all interactions has not yet been found, however, certain aspects related to the interpretation of the unified theory of all interactions in terms of modern mathematics give their significant results. Therefore, the use and development of the apparatus of algebraic geometry for finding topological invariants that have the value of observables in physics is an urgent task.
Formulation of the problem. Precision studies of the Higgs boson, supersymmetric particles, the magnetic moment of the muon, electric dipole moment of the electron, flavor anomalies demonstrate the deviation beyond Standard Model. They are connected with a new understanding of quantum field theory through the unification of gravity with particle physics in the framework of string theory - the powerful instrument, which has changed the theory picture. The article is devoted to the study of new physics through these two components. First, we considered particle physics in terms of the latest experimental data and then moved on to the mathematical apparatus of string theory. Materials and methods. The N = 2 Yang-Mills theory is the heterotic string analog determined in ten-dimensional space: four usual space-time coordinates and six extra dimensions, known as Calabi-Yau manifold in weighted projective space. We studied the Calabi-Yau manifold in terms of both differential forms and reflexive polyhedrа to extract the elementary particle information. For further work with Calabi-Yau manifolds, differential forms for calculation of cohomology groups and reflexive polyhedrа for calculation of Hodge numbers were used. We used two definitions of general properties of toric varieties: hypersurfaces in terms of differential forms and projective space in terms of reflexive polyhedral. Then we investigated lattice polyhedra ∆ which gives rise to families of Calabi-Yau hypersurfaces in weighted projective space, P∆. Such polyhedra admit a combinatorial characterization and are called reflexive polyhedra. Results. The comparison of two approaches to the description of Calabi- Yau manifold as a complex manifold and as weighted projective space led us to the conclusion about the equivalence of these two treatments in the context of calculation of the Euler characteristic. As Euler’s characteristic for elementary particle physics is the number of generations of quarks and leptons, the selection of Calabi-Yau manifolds with appropriate topological properties is one of the urgent problems of modern physics. It is necessary to stress that the important result of our paper is the coincidence of the value of the Euler characteristic, found in terms of Dolbeault cohomology and terms of reflexive polyhedral. The obtained information about topological invariants is necessary for predicting the number of generations in particle physics. Conclusions. Although a unified theory of all interactions has not yet been found, however, certain aspects related to the interpretation of the unified theory of all interactions in terms of modern mathematics give their significant results. Therefore, the use and development of the apparatus of algebraic geometry for finding topological invariants that have the value of observables in physics is an urgent task.
Опис
Ключові слова
стандартна модель, многовид Калабі-Яу, торичні многовиди, диференційна форма, зважений проективний простір, рефлексивний багатогранник, когомологія Дольбо, характеристика Ейлера, Standard Model;, Calabi-Yau manifold, toric varieties, differential form, weighted projective space, reflexive polyhedral, Dolbeault cohomology, Euler characteristic
Бібліографічний опис
Обіход Т. Формування сучасного математичного підходу до вирішення проблем фізики [Текст] / Т. Обіход // Фізико-математична освіта : науковий журнал / Міністерство освіти і науки України, Сумський державний педагогічний університет імені А. С. Макаренка, Фізико-математичний факультет ; [редкол.: М. П. Вовк, М. Гр. Воскоглу, Т. Г. Дерека та ін.]. – Суми : [СумДПУ імені А. С. Макаренка], 2022. – Вип. 1 (33). – С. 26–29. – DOI 10.31110/2413-1571-2022-033-1-004