Нерівності Коші-Буняковського і Гелдера та їхнє узагальнення
Вантажиться...
Дата
2023
Назва журналу
Номер ISSN
Назва тому
Видавець
СумДПУ імені А. С. Макаренка
Анотація
Формулювання проблеми. Класичним нерівностям присвячена різноманітна математична література. Нерівності Коші- Буняковського та Гелдера лежать в основі геометрії унітарних та нормованих просторів. У статті розглянуто узагальнення цих конструкцій – полілінійні форми і нерівності для них. Зміст узагальнених нерівностей полягає в оцінці полілінійної форми від системи векторів через їхні норми. Сама форма за зовнішнім виглядом є узагальненням скалярного добутку від довільної кількості векторів. Суттєво, що доведення проводяться елементарними методами, без використання засобів математичного аналізу. Відомо, що нерівність Коші-Буняковського є частинним випадком нерівності Гелдера. В роботі показується, що навпаки, другу з цих нерівностей може бути виведено з першої. Застосування доведених нерівностей до конкретних векторів дає одержання відомих результатів, зокрема, нерівності для середніх степеневих і деяких інших, які авторам не зустрічались у математичній літературі. Нерівності можуть бути перенесені на вектори з нескінченновимірних просторів послідовностей. Їх можна застосовувати також для пошуку екстремуму деяких функцій і при підготовці до олімпіад. Матеріали і методи. Для доведення узагальненої нерівності Коші- Буняковського використано нерівність Коші для невід’ємних чисел, що є координатами векторів багатовимірного простору. При певному виборі таких векторів з цієї нерівності доводиться узагальнена нерівність Гелдера. Вибираючи вектори різноманітними способами, можна одержати різні змістовні нерівності. Результати. Доведено узагальнені нерівності Коші-Буняковського, Гелдера, нерівність для середніх степеневих та деякі інші. Висновки. Застосування узагальнених нерівностей Коші- Буняковського і Гелдера до різних систем векторів з невід’ємними координатами дає нерівності – як вже відомі, так і нові і досить змістовні. Їхнє доведення зводиться лише до вибору потрібної системи векторів. На цьому шляху вдається легко доводити нерівності, які можна зустріти на математичних олімпіадах.
Formulation of the problem. Various mathematical literature is devoted to classical inequalities. The Cauchy-Buniakowski and Helder inequalities are at the heart of the geometry of unitary and normed spaces. The article considers the generalization of these constructions - polylinear forms and inequalities for them. The content of generalized inequalities consists in estimating a polylinear form from a system of vectors through their norms. The form itself in appearance is a generalization of the scalar product of an arbitrary number of vectors. It is essential that the proofs are carried out by elementary methods, without using means of mathematical analysis. It is known that the Cauchy-Buniakowski inequality is a partial case of Helder's inequality. The paper shows that, on the contrary, the second of these inequalities can be derived from the first. The application of proven inequalities to specific vectors yields well-known results, in particular, inequalities for power averages and some others that the authors did not encounter in the mathematical literature. Inequalities can be transferred to vectors from infinite-dimensional sequence spaces. They can also be used to find the extremum of some functions and in preparation for the Olympics. Materials and methods. To prove the generalized Cauchy-Buniakovsky inequality, the Cauchy inequality was used for non-negative numbers, which are the coordinates of vectors in a multidimensional space. With a certain choice of such vectors, the generalized Helder inequality is proved from this inequality. By choosing vectors in various ways, you can get different meaningful inequalities. The results. The generalized Cauchy-Buniakovsky, Helder inequalities, the inequality for power averages, and some others are proven. Conclusions. The application of the generalized Cauchy-Buniakovsky and Helder inequalities to various systems of vectors with non-negative coordinates gives inequalities - both well-known and new and quite meaningful. Their proof is reduced only to the selection of the desired system of vectors. In this way, it is possible to easily prove inequalities that can be found at mathematical Olympiads.
Formulation of the problem. Various mathematical literature is devoted to classical inequalities. The Cauchy-Buniakowski and Helder inequalities are at the heart of the geometry of unitary and normed spaces. The article considers the generalization of these constructions - polylinear forms and inequalities for them. The content of generalized inequalities consists in estimating a polylinear form from a system of vectors through their norms. The form itself in appearance is a generalization of the scalar product of an arbitrary number of vectors. It is essential that the proofs are carried out by elementary methods, without using means of mathematical analysis. It is known that the Cauchy-Buniakowski inequality is a partial case of Helder's inequality. The paper shows that, on the contrary, the second of these inequalities can be derived from the first. The application of proven inequalities to specific vectors yields well-known results, in particular, inequalities for power averages and some others that the authors did not encounter in the mathematical literature. Inequalities can be transferred to vectors from infinite-dimensional sequence spaces. They can also be used to find the extremum of some functions and in preparation for the Olympics. Materials and methods. To prove the generalized Cauchy-Buniakovsky inequality, the Cauchy inequality was used for non-negative numbers, which are the coordinates of vectors in a multidimensional space. With a certain choice of such vectors, the generalized Helder inequality is proved from this inequality. By choosing vectors in various ways, you can get different meaningful inequalities. The results. The generalized Cauchy-Buniakovsky, Helder inequalities, the inequality for power averages, and some others are proven. Conclusions. The application of the generalized Cauchy-Buniakovsky and Helder inequalities to various systems of vectors with non-negative coordinates gives inequalities - both well-known and new and quite meaningful. Their proof is reduced only to the selection of the desired system of vectors. In this way, it is possible to easily prove inequalities that can be found at mathematical Olympiads.
Опис
Ключові слова
нерівність Коші-Буняковського, нерівність Гелдера, вектор, координати вектора, лінійний простір, норма, нерівність трикутника, середнє степеневе, Cauchy-Buniakovsky inequality, Helder's inequality, vector, vector coordinates, linear space, norm, triangle inequality, power average
Бібліографічний опис
Бохонов Ю. Нерівності Коші-Буняковського і Гелдера та їхнє узагальнення [Текст] / Ю. Бохонов, Т. Бохонова // Фізико-математична освіта : науковий журнал / Міністерство освіти і науки України, Сумський державний педагогічний університет імені А. С. Макаренка, Фізико-математичний факультет ; [редкол.: М. П. Вовк, М. Гр. Воскоглу, Т. Г. Дерека та ін.]. – Суми : [СумДПУ імені А. С. Макаренка], 2023. – Вип. 2 (38). – С. 11–14. – DOI: 10.31110/2413-1571-2023-038-2-002