Про фізико-математичну коректність деяких рівнянь механіки
Вантажиться...
Дата
2024
Автори
Назва журналу
Номер ISSN
Назва тому
Видавець
Анотація
Формулювання проблеми. При математичному описі деяких явищ класичної і прикладної механіки (далі – механіки) виникають незрозумілі розмірнісні явища. Наприклад, кутова швидкість може отримувати дві різні одиниці вимірювання, нормальне прискорення – три, а такі фізичні величини як момент сили і механічна робота отримують одну і ту саму одиницю ньютон-метр. З наукової точки зору такі явища є суперечностями, які слід усунути. Адже Природа єдина і несуперечлива, тому опис її явищ теж повинен бути несуперечливим. Кожна фізична величина (у тій чи іншій конкретній галузі) повинна мати лише одну когерентну одиницю, а кожна одиниця повинна характеризувала лише одну фізичну величину. Тому можна стверджувати, що математичний апарат механіки потребує вдосконалення. Матеріали і методи. У одній з попередніх робіт автора було встановлено, що незрозумілі розмірнісні явища є наслідком розмірнісної некоректності математичних співвідношень, обумовленої їх нестрогістю. Зокрема, було з′ясовано, що загальновідомі фундаментальні залежності елементарної геометрії, які беруть свій початок ще від Архімеда і споконвіку вважались бездоганними аналітичними, насправді є математично нестрогими емпіричними і напівемпіричними виразами. Це спонукає застосувати аналіз розмірностей і для перевірки коректності рівнянь механіки. У даній роботі також застосовувались базові положення аналітичної механіки та закону збереження енергії. Результати. Перевірка дев′ятнадцяти рівнянь механіки засвідчила, що більша їх частина некоректна – математично нестрога або не узгоджена із законом збереження енергії. Некоректні рівняння приведено до математично строгого вигляду і узгоджено із законом збереження енергії. З них випливає однозначна система одиниць виміру величин механіки, яка, зокрема, включає п′ять уточнених одиниць. Жодного випадку, коли одна і та ж величина має різні одиниці, або різні величини мають одну і ту ж одиницю, у цій системі одиниць не спостерігається. Висновки. Встановлено, що існуючий математичний апарат класичної і прикладної механіки дійсно має істотні недоліки і потребує вдосконалення.
Formulation of the problem. In the mathematical description of some phenomena of classical and applied mechanics (after this referred to as mechanics), incomprehensible dimensional phenomena arise. For example, angular velocity can have two different units of measurement, normal acceleration - three, and such physical quantities as moment of force and mechanica work get the same unit newton-meter. From a scientific point of view, such phenomena are contradictions that should be eliminated. After all, Nature is one and uncontroversial; therefore, the description of its phenomena must also be uncontroversial. Each physical quantity (in this or that particular field) should have only one coherent unit, and each unit should characterize only one physical quantity. Therefore, the mathematical apparatus of mechanics needs improvement. Materials and methods. One of the author's previous works established that incomprehensible dimensional phenomena result from the dimensional incorrectness of mathematical ratios due to their laxity. In particular, it was found that the wellknown fundamental dependences of elementary geometry, which date back to Archimedes and have been considered impeccable analytical since time immemorial, are mathematically loose empirical and semi-empirical expressions. That prompts us to apply dimensional analysis to check the correctness of mechanics equations. This work also applied the basic principles of analytical mechanics and the law of energy conservation. Results. A review of the nineteen mechanics equations showed that most need to be corrected - mathematically loose or with the energy conservation law. The incorrect equations were brought to a mathematically rigorous form and reconciled with the energy conservation law. They lead to an unambiguous system of units of measurement for mechanics, which, in particular, includes five refined units. In this system of units, there are no cases where the exact quantity has different units or different quantities have the same unit. Conclusions. It was established that the existing mathematical apparatus of classical and applied mechanics has significant shortcomings and can be improved.
Formulation of the problem. In the mathematical description of some phenomena of classical and applied mechanics (after this referred to as mechanics), incomprehensible dimensional phenomena arise. For example, angular velocity can have two different units of measurement, normal acceleration - three, and such physical quantities as moment of force and mechanica work get the same unit newton-meter. From a scientific point of view, such phenomena are contradictions that should be eliminated. After all, Nature is one and uncontroversial; therefore, the description of its phenomena must also be uncontroversial. Each physical quantity (in this or that particular field) should have only one coherent unit, and each unit should characterize only one physical quantity. Therefore, the mathematical apparatus of mechanics needs improvement. Materials and methods. One of the author's previous works established that incomprehensible dimensional phenomena result from the dimensional incorrectness of mathematical ratios due to their laxity. In particular, it was found that the wellknown fundamental dependences of elementary geometry, which date back to Archimedes and have been considered impeccable analytical since time immemorial, are mathematically loose empirical and semi-empirical expressions. That prompts us to apply dimensional analysis to check the correctness of mechanics equations. This work also applied the basic principles of analytical mechanics and the law of energy conservation. Results. A review of the nineteen mechanics equations showed that most need to be corrected - mathematically loose or with the energy conservation law. The incorrect equations were brought to a mathematically rigorous form and reconciled with the energy conservation law. They lead to an unambiguous system of units of measurement for mechanics, which, in particular, includes five refined units. In this system of units, there are no cases where the exact quantity has different units or different quantities have the same unit. Conclusions. It was established that the existing mathematical apparatus of classical and applied mechanics has significant shortcomings and can be improved.
Опис
Ключові слова
рівняння механіки, розмірнісна коректність, колова швидкість, нормальне прискорення, моменти, equations of mechanics, dimensional correctness, wheel speed, normal acceleration, moments
Бібліографічний опис
Пожидаєв C. Про фізико-математичну коректність деяких рівнянь механікисергій [Текст] / С. Пожидаєв // Фізико-математична освіта : науковий журнал / Міністерство освіти і науки України, Сумський державний педагогічний університет імені А. С. Макаренка, Фізико-математичний факультет ; [редкол.: М. П. Вовк, М. Гр. Воскоглу, М.Г. Друшляк та ін.]. – Суми : [СумДПУ імені А. С. Макаренка], 2024. – Вип. 1 (39). – С. 49–55. – DOI: 10.31110/fmo2024.v39i1-07