Узагальнення підстановок діофанта
Вантажиться...
Дата
2019
Назва журналу
Номер ISSN
Назва тому
Видавець
СумДПУ імені А. С. Макаренка
Анотація
Метою статті є дослідити методи Діофанта розв’язування деяких нелінійних систем рівнянь у його трактаті «Арифметика» та побудувати узагальнення розв’язків, знайдених Діофантом. Узагальнення математичних теорій і тверджень розглядається як засіб розвитку творчого мислення студентів. Це формує готовність до розвитку творчого мислення учнів у майбутній професійній діяльності. Для розв’язання цього завдання пропонується історичний підхід, тобто використання деяких фактів, відомих з історії математики або визначних математичних задач. Це задачі з давніх творів, пам’яток або задачі, які були створені відомими математиками. У статті досліджуються методи розв’язування текстових задач останнього визначного математика античного світу Діофанта Александрійського (ІІІ ст.) у його трактаті «Арифметика». Виокремлюються задачі, математичними моделями яких є нелінійні системи алгебраїчних рівнянь, зокрема де кількість рівнянь менша за кількість невідомих. Узагальнюються підходи Діофанта до розв’язування деяких задач з трактату «Арифметика». Виводяться формули, за якими можна визначити безліч розв’язків, серед яких є розв’язок Діофанта. Для одержання узагальнених розв’язків використовується тотожність про суму числа та квадрата половини різниці дільника і частки цього числа. Також розв’язки системи подаються як лінійні або квадратичні функції з коефіцієнтами, які залежать від параметрів. Для конкретних значень параметрів одержуються розв’язки Діофанта. У випадку, коли розв’язки виражаються через вільні члени системи рівнянь, доводиться достатня умова для значень вільних членів, при якій розв’язки системи є цілі числа. Робиться висновок, що методи розв’язування історичних задач та їх узагальнення повинні стати важливою складовою підготовки студентів до майбутньої професійної діяльності вчителя математики.
The study considers the Diophantus' methods of solving certain systems of nonlinear equations given in the "Arithmetica" treatise, and further suggests the generalization of solutions founded by Diophantus. The author regards the method of generalization of mathematical theories and statements as a means of developing students' creative thinking. It formates their readiness to develop creative thinking in their future pupils. To archive this goal, the work proposes a historical approach based on using some facts from the history of mathematics, as well as famous mathematical problems. The latter include the problems from ancient treatises and the problems, formulated by famous mathematicians. The study investigates the methods of solving word problems authored by Diophantus of Alexandria (3rd century CE), the last great mathematician of Antiquity, in his "Arithmetica" treatise. The article considers the problems with mathematical models, based on systems of nonlinear algebraic equations containing fewer equations than unknowns. The work gives a generalization of Diophantus' approaches to solving some problems from "Arithmetica" treatise. The work derives formulas for an infinite number of solutions, including Diophantine solution. Generalized solutions are identified using the identity for the sum of the number and the square of half of the difference between denominator and quotient of this number. The solutions of the system are also presented as linear or quadratic functions with parameter-dependent coefficients. The study obtains the solutions for specific parameter values. Otherwise, the sufficient condition for free terms values is proven, in which all the solutions are integers. The paper concludes that the methods of solving historical tasks, as well as their generalization, ought to be an important component of training future teachers of mathematics.
The study considers the Diophantus' methods of solving certain systems of nonlinear equations given in the "Arithmetica" treatise, and further suggests the generalization of solutions founded by Diophantus. The author regards the method of generalization of mathematical theories and statements as a means of developing students' creative thinking. It formates their readiness to develop creative thinking in their future pupils. To archive this goal, the work proposes a historical approach based on using some facts from the history of mathematics, as well as famous mathematical problems. The latter include the problems from ancient treatises and the problems, formulated by famous mathematicians. The study investigates the methods of solving word problems authored by Diophantus of Alexandria (3rd century CE), the last great mathematician of Antiquity, in his "Arithmetica" treatise. The article considers the problems with mathematical models, based on systems of nonlinear algebraic equations containing fewer equations than unknowns. The work gives a generalization of Diophantus' approaches to solving some problems from "Arithmetica" treatise. The work derives formulas for an infinite number of solutions, including Diophantine solution. Generalized solutions are identified using the identity for the sum of the number and the square of half of the difference between denominator and quotient of this number. The solutions of the system are also presented as linear or quadratic functions with parameter-dependent coefficients. The study obtains the solutions for specific parameter values. Otherwise, the sufficient condition for free terms values is proven, in which all the solutions are integers. The paper concludes that the methods of solving historical tasks, as well as their generalization, ought to be an important component of training future teachers of mathematics.
Опис
Ключові слова
узагальнення, історичні задачі, творче мислення, проблеми «Арифметики» Діофанта, системи діофантових рівнянь, підстановки Діофанта, математичні моделі арифметичних задач, узагальнення підстановок Діофанта, generalization, famous historical tasks, creative thinking, problems of Diophantus' "Arithmetica", Diophantine systems, Diophantus' substitutions, mathematical models of arithmetic problems, generalization of Diophantus' substitutions
Бібліографічний опис
Сверчевська, І. А. Узагальнення підстановок діофанта [Текст] / І. А. Сверчевська // Актуальні питання природничо-математичної освіти : збірник наукових праць / Міністерство освіти і науки України, Сумський державний педагогічний ун-т ім. А. С. Макаренка ; [голова редкол. О. С. Чашечникова ; редкол.: В. Г. Бевз, Н. В. Бровка, В. Ватсон та ін.]. – Суми : [СумДПУ імені А. С. Макаренка], 2019. – Вип. 2 (14). – С. 50–58. – DOI: 10.5281/zenodo.3669033.