Дилатації площини у ШКМ та теорії геометричних перетворень площини для майбутніх вчителів математики
Вантажиться...
Дата
2026
Назва журналу
Номер ISSN
Назва тому
Видавець
Анотація
Формулювання проблеми. Геометричні перетворення є важливим компонентом шкільного курсу геометрії та підготовки майбутніх учителів математики. Разом із тим, аналіз змісту шкільних підручників і навчально-методичної літератури свідчить про наявність певних методологічних неточностей у трактуванні понять геометричних перетворень та їх властивостей, замість перетворень площини розглядаються перетворення фігур. Це обумовлює необхідність більш системного й науково обґрунтованого висвітлення теми перетворень подібності та їх окремих підгруп у курсі аналітичної геометрії для майбутніх учителів математики. Методи та матеріали. У дослідженні використано теоретичні методи науково-педагогічного пошуку, зокрема аналіз та узагальнення наукової і навчально-методичної літератури, а також математичні методи доведення і обґрунтування геометричних тверджень. Результати. У статті розглянуто дилатації площини як підгрупу групи перетворень подібності. Проаналізовано їх основні властивості та інваріанти — геометричні властивості фігур і відношення між ними, що зберігаються при відповідних перетвореннях. Доведено, що дилатації площини у групі перетворень вичерпуються гомотетіями, паралельними перенесеннями та їх композиціями. Показано, що дилатації утворюють групу геометричних перетворень, а також наведено теоретичні твердження та приклади задач, які ілюструють застосування цих перетворень у дослідженні геометричних об’єктів. Висновки. Проведене дослідження дозволяє систематизувати уявлення про дилатації площини як підгрупу перетворень подібності та уточнити їх місце у структурі геометричних перетворень. Отримані результати можуть бути використані під час викладання аналітичної геометрії у закладах вищої освіти, а також у шкільному курсі геометрії, зокрема на факультативних заняттях, у гуртковій та позакласній роботі. Перспективи подальших досліджень пов’язані з розширенням аналізу підгруп перетворень подібності та їх застосуванням у методиці навчання геометрії.
Formulation of the problem. Geometric transformations constitute an important component of the school geometry curriculum and the professional training of future mathematics teachers. However, an analysis of school textbooks and educational literature reveals certain methodological inaccuracies in the interpretation of geometric transformations and their properties. This necessitates a more systematic, scientifically grounded presentation of similarity transformations and their particular subgroups in analytical geometry courses for pre-service mathematics teachers.Materials and methods. The study employs theoretical methods of scientific and pedagogical research, including the analysis and synthesis of scientific and educational literature, as well as mathematical methods for proving and substantiating geometric statements.Results. The article examines plane dilations as a subgroup of similarity transformations. Their fundamental properties and invariants — geometric properties of figures and relations between them that are preserved under the corresponding transformations — are analyzed. The connection between dilations, homotheties, and translations of the plane is established. It is shown that dilations form a group of geometric transformations. In addition, the paper presents theoretical statements and examples of problems illustrating the application of these transformations in the study of geometric objects.Conclusions. The conducted research enables the systematization of the concept of plane dilations as a subgroup of similarity transformations and clarifies their place within the structure of geometric transformations. The results can be used in teaching analytical geometry at higher education institutions and in school geometry courses, particularly in elective classes, mathematical circles, and extracurricular activities. Prospects for further research include expanding the analysis of subgroups of similarity transformations and their application in the methodology of teaching geometry.
Formulation of the problem. Geometric transformations constitute an important component of the school geometry curriculum and the professional training of future mathematics teachers. However, an analysis of school textbooks and educational literature reveals certain methodological inaccuracies in the interpretation of geometric transformations and their properties. This necessitates a more systematic, scientifically grounded presentation of similarity transformations and their particular subgroups in analytical geometry courses for pre-service mathematics teachers.Materials and methods. The study employs theoretical methods of scientific and pedagogical research, including the analysis and synthesis of scientific and educational literature, as well as mathematical methods for proving and substantiating geometric statements.Results. The article examines plane dilations as a subgroup of similarity transformations. Their fundamental properties and invariants — geometric properties of figures and relations between them that are preserved under the corresponding transformations — are analyzed. The connection between dilations, homotheties, and translations of the plane is established. It is shown that dilations form a group of geometric transformations. In addition, the paper presents theoretical statements and examples of problems illustrating the application of these transformations in the study of geometric objects.Conclusions. The conducted research enables the systematization of the concept of plane dilations as a subgroup of similarity transformations and clarifies their place within the structure of geometric transformations. The results can be used in teaching analytical geometry at higher education institutions and in school geometry courses, particularly in elective classes, mathematical circles, and extracurricular activities. Prospects for further research include expanding the analysis of subgroups of similarity transformations and their application in the methodology of teaching geometry.
Опис
Ключові слова
геометричні перетворення, перетворення подібності, дилатація, гомотетія, аналітична геометрія, шкільний курс геометрії, гурткова робота в школі, майбутній вчитель математики, geometric transformations, similarity transformations, dilation, homothety, analytical geometry, school geometry curriculum, extracurricular activities in schools, future mathematics teacher
Бібліографічний опис
Працьовитий М. Дилатації площини у ШКМ та теорії геометричних перетворень площини для майбутніх вчителів математики [Текст] / М. Працьовитий, Н. Правіцка, С. Ратушняк // Фізико-математична освіта : науковий журнал / Міністерство освіти і науки України, Сумський державний педагогічний університет імені А. С. Макаренка, Фізико-математичний факультет ; редкол.: О. Семеніхіна, М. Друшляк, Francis Kwadwo Awuah та ін. – Суми : СумДПУ імені А. С. Макаренка, 2026. – Вип. 2 (41). – С. 71–85. – DOI: 10.31110/fmo2026.v41i2-07