Перегляд за Автор "Bokhonov Yuriy"

Зараз показуємо 1 - 2 з 2
  • Документ
    The Inequalities of Helder and Minkovsky and Their Generalizations
    (2025) Bokhonov Yuriy; Бохонов Юрій
    Formulation of the Problem. A large amount of mathematical literature is devoted to classical inequalities. Helder's inequalities, a special case of which is the Cauchy-Buniakovsky inequality, as well as Minkowski's, which is a polygon inequality in a normed space, underlie the geometry of unitary and normed spaces - finite and infinite-dimensional (Banach). The article considers the generalization of these constructions - both in discrete form, that is, for finite sums and series, and for integrals. It is essential that inequalities for sums are proved by elementary methods, without the use of differential calculus. The results obtained can be used in scientific activities for evaluating some expressions in the form of sums or integrals, as well as by students in preparation for Olympiads and even for studying mathematics in school circles. Materials and Methods. To prove the generalized Minkowski inequality and the integral inequalities of Helder and Minkowski, the generalized Helder inequality for sums, which was previously obtained by the author which, in turn, was derived from Cauchy's inequality. Results. The generalized Minkowski inequalities were proved for finite sums and infinite series with non-negative members and the integral for non-negative functions, as well as the generalized integral Helder inequality and, in a special case, the Cauchy-Bunyakovsky inequality. Conclusion. The application of the generalized Helder and Minkowski inequalities for sums, series, and integrals is a fairly effective method that allows you to obtain interesting consequences, important estimates – you only need to successfully select finite-dimensional or infinite-dimensional vectors or functions and apply the proved inequalities to them. On this path, there is a great deal of space for creative activity.
  • Документ
    Нерівності Коші-Буняковського і Гелдера та їхнє узагальнення
    (СумДПУ імені А. С. Макаренка, 2023) Бохонов Юрій; Бохонова Тетяна; Bokhonov Yuriy; Bokhonova Tetyana
    Формулювання проблеми. Класичним нерівностям присвячена різноманітна математична література. Нерівності Коші- Буняковського та Гелдера лежать в основі геометрії унітарних та нормованих просторів. У статті розглянуто узагальнення цих конструкцій – полілінійні форми і нерівності для них. Зміст узагальнених нерівностей полягає в оцінці полілінійної форми від системи векторів через їхні норми. Сама форма за зовнішнім виглядом є узагальненням скалярного добутку від довільної кількості векторів. Суттєво, що доведення проводяться елементарними методами, без використання засобів математичного аналізу. Відомо, що нерівність Коші-Буняковського є частинним випадком нерівності Гелдера. В роботі показується, що навпаки, другу з цих нерівностей може бути виведено з першої. Застосування доведених нерівностей до конкретних векторів дає одержання відомих результатів, зокрема, нерівності для середніх степеневих і деяких інших, які авторам не зустрічались у математичній літературі. Нерівності можуть бути перенесені на вектори з нескінченновимірних просторів послідовностей. Їх можна застосовувати також для пошуку екстремуму деяких функцій і при підготовці до олімпіад. Матеріали і методи. Для доведення узагальненої нерівності Коші- Буняковського використано нерівність Коші для невід’ємних чисел, що є координатами векторів багатовимірного простору. При певному виборі таких векторів з цієї нерівності доводиться узагальнена нерівність Гелдера. Вибираючи вектори різноманітними способами, можна одержати різні змістовні нерівності. Результати. Доведено узагальнені нерівності Коші-Буняковського, Гелдера, нерівність для середніх степеневих та деякі інші. Висновки. Застосування узагальнених нерівностей Коші- Буняковського і Гелдера до різних систем векторів з невід’ємними координатами дає нерівності – як вже відомі, так і нові і досить змістовні. Їхнє доведення зводиться лише до вибору потрібної системи векторів. На цьому шляху вдається легко доводити нерівності, які можна зустріти на математичних олімпіадах.