Перегляд за Автор "Bokhonov Yurii Yevhenovych"
Зараз показуємо 1 - 4 з 4
Результатів на сторінці
Налаштування сортування
Документ The Inequalities of Helder and Minkovsky and Their Generalizations(2025) Bokhonov Yurii Yevhenovych; Бохонов Юрій ЄвгеновичFormulation of the Problem. A large amount of mathematical literature is devoted to classical inequalities. Helder's inequalities, a special case of which is the Cauchy-Buniakovsky inequality, as well as Minkowski's, which is a polygon inequality in a normed space, underlie the geometry of unitary and normed spaces - finite and infinite-dimensional (Banach). The article considers the generalization of these constructions - both in discrete form, that is, for finite sums and series, and for integrals. It is essential that inequalities for sums are proved by elementary methods, without the use of differential calculus. The results obtained can be used in scientific activities for evaluating some expressions in the form of sums or integrals, as well as by students in preparation for Olympiads and even for studying mathematics in school circles. Materials and Methods. To prove the generalized Minkowski inequality and the integral inequalities of Helder and Minkowski, the generalized Helder inequality for sums, which was previously obtained by the author which, in turn, was derived from Cauchy's inequality. Results. The generalized Minkowski inequalities were proved for finite sums and infinite series with non-negative members and the integral for non-negative functions, as well as the generalized integral Helder inequality and, in a special case, the Cauchy-Bunyakovsky inequality. Conclusion. The application of the generalized Helder and Minkowski inequalities for sums, series, and integrals is a fairly effective method that allows you to obtain interesting consequences, important estimates – you only need to successfully select finite-dimensional or infinite-dimensional vectors or functions and apply the proved inequalities to them. On this path, there is a great deal of space for creative activity.Документ Включення теми «Найпростіші функціональні рівняння» в модельні програми вивчення предмету «Алгебра і початки аналізу»(2023) Бохонова Тетяна; Бохонов Юрій Євгенович; Матвєєва Ірина; Томащук Олексій; Лещинський Олег; Гроза Валентина; Bokhonova Tetiana; Bokhonov Yurii Yevhenovych; Matvieieva Iryna; Tomashchuk Oleksii; Tykhonova Viktoriia; Leshchynskii Oleh; Groza ValentynaПостановка проблеми. Дослідження питання включення теми «Найпростіші функціональні рівняння» в модельні навчальні програми вивчення предмету «Алгебра і початки аналізу» для профільних класів з поглибленим вивченням математики. Модельна навчальна програма вивчає орієнтовну послідовність досягнення очікуваних результатів навчання, зміст предмета або інтегрованого курсу та види навчальної діяльності здобувачів освіти. Включання вказаної теми має на меті розпочати творче осмислення функціональних зв’язків, існуючих в реальних системах і процесах, зокрема, екологічних, економічних та соціальних. Матеріали та методи. Теоретичний метод аналізу методичної та навчальної літератури з досліджуваного питання; порівняльний аналіз для усвідомлення різних поглядів на проблему; систематизація та узагальнення для створення рекомендацій змісту запропонованої теми, а також формулювання висновків та інтегрування педагогічного досвіду авторів, які викладають відповідні дисципліни в закладах освіти різних рівнів. Результати. Запропоновано можливий зміст теми «Найпростіші функціональні рівняння» в модельні програми вивчення предмету «Алгебра і початки аналізу», приклади для пояснення викладачем і закріплення учнями. Для деяких прикладів запропоновані різні підходи їх розв’язання; надано зручні таблиці для пошуку учнями частинних розв’язків деяких видів функціональних рівнянь. Висновки. Автори вважають, що тема «Найпростіші функціональні рівняння» буде корисною і сприйнятною для вивчення в межах предмету «Алгебра і початки аналізу» учнями профільних класів з поглибленим вивченням математики. В межах одинадцятирічної шкільної освіти, зрозуміло, часу на вивчення цієї теми знайти було неможливо за причини насиченості і щільності необхідного для вивчення матеріалу. Але в дванадцятирічній Новій Українській Школі, зазначеною більш глибокою диференціацією профільного навчання, тема «Найпростіші функціональні рівняння» може зміцнити фундаментальність математичної освіти в класах з поглибленим вивченням математики, інформатики тощо. Подальші дослідження в даному напряму можуть стосуватися методики розв’язання найпростіших рекурентних рівнянь.Документ Застосування тензорної алгебрив диференціальному численні багатовимірних відображень(2024) Бохонов Юрій Євгенович; Bokhonov Yurii YevhenovychФормулювання проблеми. Відомо формули, за якими можна знайти похідну кожного елемента багатовимірного відображення. При цьому досить рідко на практиці використовують матрицю Якобі -першу його похідну, матрицю Гессе –другу похідну скалярної функції кількох змінних, тощо. В той самий час застосування матриць як технічного апарата при розв’язуванні подібних задач виявляється зручним і ефективним. На цьому шляху все ж виникають труднощі, наприклад, при матричному запису похідної від матриці. Виявляється, що для адекватного опису подібних конструкцій варто використовувати тензорні добутки матриць, де разом зі звичайними матрицями та векторами працюють з формальним вектором -лінійним оператором, елементами якого є оператори частинних похідних. При цьому формули для похідної довільного і диференціалу порядку від вектор-функції стають зрозумілими і прозорими.Матеріали і методи.Для дослідження похідних високих порядків багатовимірних відображень широко використовується метод тензорних (кронекерівських) добутків матриць. При цьому похідна довільного порядку вектор-функції визначається як тензорний степінь формального диференціального оператора першого порядку –транспонованого вектора-градієнта. Дія таких тензорних виразів на вектор-функцію дає її похідну відповідного порядку. Це дає змогу описати мовою матриць конструкцію похідних, що на якісному рівні відрізняється від знаходження частинних похідних від кожної компоненти багатовимірного відображення. Результати.За допомогою використання тензорних добутків матриць доведено і детально виписано формули для першої і другої похідних вектор-функцій, а також вказано, як знаходиться похідна довільного порядку. В класичних курсах математичного аналізу, як правило, виписуються матриця Якобі багатовимірного відображення і матриця Гессе (друга похідна) скалярнозначної функції багатовимірного аргументу. В пропонованій статті показано алгоритм знаходження довільної похідної як оператора, що діє в тензорному добутку лінійних просторів, що дає змогу краще усвідомити цю важливу конструкцію математичного аналізу. Висновки.Широке застосування тензорних операцій, в яких діє також формальний вектор-оператор похідної першого порядку виявляється дуже ефективним. Більш того, на цьому шляху вдається показати структуру, з’ясувати, елементами яких лінійних просторів є похідні. На цьому шляху зразу вдається одержати усі похідні шуканого порядку, а не кожну частинну похідну окремо.Документ Нерівності Коші-Буняковського і Гелдера та їхнє узагальнення(СумДПУ імені А. С. Макаренка, 2023) Бохонов Юрій Євгенович; Бохонова Тетяна; Bokhonov Yurii Yevhenovych; Bokhonova TetyanaФормулювання проблеми. Класичним нерівностям присвячена різноманітна математична література. Нерівності Коші- Буняковського та Гелдера лежать в основі геометрії унітарних та нормованих просторів. У статті розглянуто узагальнення цих конструкцій – полілінійні форми і нерівності для них. Зміст узагальнених нерівностей полягає в оцінці полілінійної форми від системи векторів через їхні норми. Сама форма за зовнішнім виглядом є узагальненням скалярного добутку від довільної кількості векторів. Суттєво, що доведення проводяться елементарними методами, без використання засобів математичного аналізу. Відомо, що нерівність Коші-Буняковського є частинним випадком нерівності Гелдера. В роботі показується, що навпаки, другу з цих нерівностей може бути виведено з першої. Застосування доведених нерівностей до конкретних векторів дає одержання відомих результатів, зокрема, нерівності для середніх степеневих і деяких інших, які авторам не зустрічались у математичній літературі. Нерівності можуть бути перенесені на вектори з нескінченновимірних просторів послідовностей. Їх можна застосовувати також для пошуку екстремуму деяких функцій і при підготовці до олімпіад. Матеріали і методи. Для доведення узагальненої нерівності Коші- Буняковського використано нерівність Коші для невід’ємних чисел, що є координатами векторів багатовимірного простору. При певному виборі таких векторів з цієї нерівності доводиться узагальнена нерівність Гелдера. Вибираючи вектори різноманітними способами, можна одержати різні змістовні нерівності. Результати. Доведено узагальнені нерівності Коші-Буняковського, Гелдера, нерівність для середніх степеневих та деякі інші. Висновки. Застосування узагальнених нерівностей Коші- Буняковського і Гелдера до різних систем векторів з невід’ємними координатами дає нерівності – як вже відомі, так і нові і досить змістовні. Їхнє доведення зводиться лише до вибору потрібної системи векторів. На цьому шляху вдається легко доводити нерівності, які можна зустріти на математичних олімпіадах.