Перегляд за Автор "Marchenko K. V."

Зараз показуємо 1 - 2 з 2
  • Документ
    Модульні арифметики
    (СумДПУ імені А. С. Макаренка, 2018) Лукашова Тетяна Дмитрівна; Lukashova Tetiana Dmytrivna; Марченко К. В.; Marchenko K. V.
    У багатьох задачах теорії чисел, дискретної математики та теорії шифрів доводиться знаходити остачі від ділення на деяке натуральне число (модуль) та виконувати арифметичні дії над знайденими остачами. Розглядаючи сукупність остач та вводячи операції додавання, віднімання, множення та ділення на утворених множинах, приходимо до так званих модульних арифметик. Число елементів у цих арифметиках скінченне, тому іноді їх називають скінченними арифметиками. Незважаючи на те, що арифметичні дії в модульних арифметиках вводяться аналогічно до того, як вони визначені для цілих чисел, деякі особливості виникають при множенні елементів, піднесенні їх до степеня та добуванні кореня, а відтак – при розв’язуванні рівнянь та їх систем. В арифметиках за простим модулем результати операцій віднімання та ділення на відмінний від нуля елемент також є елементами відповідних арифметик. Тому в них можна обходитись без від’ємних та дробових виразів. Окрім того, в таких арифметиках зберігається більшість відомих алгоритмів розв’язування алгебраїчних рівнянь та їх систем. З іншого боку, в арифметиках за складеним модулем усталені правила можуть порушуватись, що пояснюється існуванням в них дільників нуля. Незважаючи на те, що виконання арифметичних операцій у скінченних арифметиках значною мірою спирається на теорію конгруенцій та теорію кілець, які вивчаються у курсі алгебри й теорії чисел, дослідженню модульних арифметик та особливостям виконання в них арифметичних дій присвячено лише окремі публікації. У даній статті розглядаються особливості виконання арифметичних операцій у модульних арифметиках, які конструюються на основі кілець класів лишків цілих чисел за заданим модулем. Значну увагу приділено питанням піднесення до степеня та добування кореня, наведено відповідні приклади. Матеріал статті може бути використаний при вивченні відповідних тем з теорії чисел та дискретної математики, а також розглянутий на заняттях спецкурсів та математичних гуртків.
  • Документ
    Розв’язування алгебраїчних рівнянь в модульних арифметиках
    (СумДПУ імені А. С. Макаренка, 2018) Лукашова Тетяна Дмитрівна; Lukashova Tetiana Dmytrivna; Лукашова Марія; Lukashova Mariia; Марченко К. В.; Marchenko K. V.
    У багатьох задачах теорії чисел та дискретної математики доводиться виконувати арифметичні дії над цілими числами за певним модулем. При такому підході кожне ціле число можна ототожнити з остачею за цим модулем та розглядати множину лишків як нову, модульну арифметику. Зазначимо, що арифметичні операції над елементами утвореної таким способом алгебраїчної структури вводяться подібно до того, як вони визначені для цілих чисел, і визначаються відповідними остачами від ділення на модуль. Проте, залежно від модуля, деякі особливості можуть виникати при множенні класів лишків та похідних від нього операцій – піднесенні до степеня та добуванні кореня, а відтак – при розв’язуванні рівнянь та їх систем. В арифметиках за простим модулем результати операцій віднімання та ділення на відмінний від нуля елемент також є елементами цих арифметик. Тому в них можна обійтись без від’ємних та дробових числових виразів. Окрім того, в таких арифметиках зберігається більшість відомих алгоритмів розв’язування алгебраїчних рівнянь та їх систем. З іншого боку, в арифметиках за складеним модулем усталені правила можуть порушуватись, що пояснюється існуванням в них дільників нуля. Незважаючи на те, що виконання арифметичних операцій у скінченних арифметиках значною мірою спирається на теорію конгруенцій та теорію кілець, які вивчаються у курсі алгебри й теорії чисел, дослідженню модульних арифметик, зокрема, особливостям виконання в них арифметичних дій, розв’язуванню рівнянь та їх систем присвячено лише окремі публікації. У даній статті розглядаються особливості розв’язування алгебраїчних рівнянь та їх систем у модульних арифметиках. Досліджено питання розв’язності окремих типів алгебраїчних рівнянь (зокрема, лінійних та квадратних) та систем лінійних рівнянь у арифметиках за простим модулем, наведено відповідні алгоритми і приклади. Матеріал статті може бути використаний при вивченні відповідних тем з теорії чисел та дискретної математики, а також розглянутий на заняттях спецкурсів та математичних гуртків.