Застосування тензорної алгебрив диференціальному численні багатовимірних відображень
Вантажиться...
Дата
2024
Назва журналу
Номер ISSN
Назва тому
Видавець
Анотація
Формулювання проблеми. Відомо формули, за якими можна знайти похідну кожного елемента багатовимірного відображення. При цьому досить рідко на практиці використовують матрицю Якобі -першу його похідну, матрицю Гессе –другу похідну скалярної функції кількох змінних, тощо. В той самий час застосування матриць як технічного апарата при розв’язуванні подібних задач виявляється зручним і ефективним. На цьому шляху все ж виникають труднощі, наприклад, при матричному запису похідної від матриці. Виявляється, що для адекватного опису подібних конструкцій варто використовувати тензорні добутки матриць, де разом зі звичайними матрицями та векторами працюють з формальним вектором -лінійним оператором, елементами якого є оператори частинних похідних. При цьому формули для похідної довільного і диференціалу порядку від вектор-функції стають зрозумілими і прозорими.Матеріали і методи.Для дослідження похідних високих порядків багатовимірних відображень широко використовується метод тензорних (кронекерівських) добутків матриць. При цьому похідна довільного порядку вектор-функції визначається як тензорний степінь формального диференціального оператора першого порядку –транспонованого вектора-градієнта. Дія таких тензорних виразів на вектор-функцію дає її похідну відповідного порядку. Це дає змогу описати мовою матриць конструкцію похідних, що на якісному рівні відрізняється від знаходження частинних похідних від кожної компоненти багатовимірного відображення. Результати.За допомогою використання тензорних добутків матриць доведено і детально виписано формули для першої і другої похідних вектор-функцій, а також вказано, як знаходиться похідна довільного порядку. В класичних курсах математичного аналізу, як правило, виписуються матриця Якобі багатовимірного відображення і матриця Гессе (друга похідна) скалярнозначної функції багатовимірного аргументу. В пропонованій статті показано алгоритм знаходження довільної похідної як оператора, що діє в тензорному добутку лінійних просторів, що дає змогу краще усвідомити цю важливу конструкцію математичного аналізу. Висновки.Широке застосування тензорних операцій, в яких діє також формальний вектор-оператор похідної першого порядку виявляється дуже ефективним. Більш того, на цьому шляху вдається показати структуру, з’ясувати, елементами яких лінійних просторів є похідні. На цьому шляху зразу вдається одержати усі похідні шуканого порядку, а не кожну частинну похідну окремо.
Formulation of the problem. There are known formulas that can be used to find the derivative of each element of a multidimensional mapping. At the same time, the Jacobi matrix -its first derivative, the Hessian matrix -the second derivative of a scalar function of several variables, etc., are rarely used in practice. At the same time, using matrices as a technical device for solving similar problems is convenient and practical. Difficulties still arise on this path, for example, when writing the derivative of a matrix as a matrix. For an adequate description of such constructions, it is worth using tensor products of matrices, where together with ordinary matrices and vectors work with a formal vector -a linear operator, the elements of which are partial derivative operators. At the same time, the formulas for the derivative of arbitrary and differential order from the vector function become clear and transparent.Materials and methods. To study high-order derivatives of multidimensional mappings, the method of tensor (Kroneker) matrix products is widely used. At the same time, the derivative of an arbitrary order of the vector function is defined as the tensor degree of the formal differential operator of the first order -the transposed gradient vector. The action of such tensor expressions on a vector function gives its derivative of the appropriate order. This makes it possible to describe the construction of derivatives in the language of matrices, which is qualitatively different from finding partial derivatives of each component of a multidimensional mapping.The results. Formulas for the first and second derivatives of vector functions are proved and written out in detail by using tensor products of matrices, and it is also indicated how the derivative of arbitrary order is found. In classical courses of mathematical analysis, as a rule, the Jacobian matrix of the multidimensional mapping and the Hessian matrix (second derivative) of the scalar-valued function of the multidimensional argument are written out. The proposed article shows the algorithm for finding an arbitrary derivative as an operator acting in the tensor product of linear spaces, which allows a better understanding of this important construction of mathematical analysis.Conclusions.Wide application of tensor operations, in which the formal vector operator of the first-order derivative also works, turns out to be very effective. Moreover, in this way, it is possible to show the structure and find out which elements of linear spaces are the derivatives. In this way, it is possible to obtain all derivatives of the desired order at once instead of each partial derivative separately.
Formulation of the problem. There are known formulas that can be used to find the derivative of each element of a multidimensional mapping. At the same time, the Jacobi matrix -its first derivative, the Hessian matrix -the second derivative of a scalar function of several variables, etc., are rarely used in practice. At the same time, using matrices as a technical device for solving similar problems is convenient and practical. Difficulties still arise on this path, for example, when writing the derivative of a matrix as a matrix. For an adequate description of such constructions, it is worth using tensor products of matrices, where together with ordinary matrices and vectors work with a formal vector -a linear operator, the elements of which are partial derivative operators. At the same time, the formulas for the derivative of arbitrary and differential order from the vector function become clear and transparent.Materials and methods. To study high-order derivatives of multidimensional mappings, the method of tensor (Kroneker) matrix products is widely used. At the same time, the derivative of an arbitrary order of the vector function is defined as the tensor degree of the formal differential operator of the first order -the transposed gradient vector. The action of such tensor expressions on a vector function gives its derivative of the appropriate order. This makes it possible to describe the construction of derivatives in the language of matrices, which is qualitatively different from finding partial derivatives of each component of a multidimensional mapping.The results. Formulas for the first and second derivatives of vector functions are proved and written out in detail by using tensor products of matrices, and it is also indicated how the derivative of arbitrary order is found. In classical courses of mathematical analysis, as a rule, the Jacobian matrix of the multidimensional mapping and the Hessian matrix (second derivative) of the scalar-valued function of the multidimensional argument are written out. The proposed article shows the algorithm for finding an arbitrary derivative as an operator acting in the tensor product of linear spaces, which allows a better understanding of this important construction of mathematical analysis.Conclusions.Wide application of tensor operations, in which the formal vector operator of the first-order derivative also works, turns out to be very effective. Moreover, in this way, it is possible to show the structure and find out which elements of linear spaces are the derivatives. In this way, it is possible to obtain all derivatives of the desired order at once instead of each partial derivative separately.
Опис
Ключові слова
похідна, диференціал, лінійний простір, лінійний оператор, вектор-функція, матриця, тензорний добуток, derivative, differential, linear space, linear operator, vector function, matrix, tensor product
Бібліографічний опис
Бохонов Ю. Застосування тензорної алгебри в диференціальному численні багатовимірних відображень [Текст] / Ю. Бохонов // Фізико-математична освіта : науковий журнал / Міністерство освіти і науки України, Сумський державний педагогічний університет імені А. С. Макаренка, Фізико-математичний факультет ; [редкол.: М. П. Вовк, М. Гр. Воскоглу, М.Г. Друшляк та ін.]. – Суми : [СумДПУ імені А. С. Макаренка], 2024. – Вип. 3 (39). – С. 24–30. – DOI: 10.31110/fmo2024. v39i3-03