Випадкові неповні суми знакозмінного ряду Люрота, доданки якого утворюють однорідний ланцюг Маркова

Abstract

Вивчаються властивості розподілу випадкової величини \\ $$\xi=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}\tau_{k}}{a_1(a_1+1)a_2(a_2+1)...a_{n-1}(a_{n-1}+1)a_n},$$ де $(a_n)$ -- напередзадана послідовніть натуральних чисел, $(\tau_k)$ -- випадкові величини, які набувають двох значень 0 та 1 і утворюють однорідний ланцюг Маркова. Повністю розв'язана задача про лебегівську структуру (вміст чисто дискретної, абсолютно неперервної та сингулярної компонент) розподілу $\xi$. Доведено, що розподіл $\xi$ є дискретним або чисто неперервним, а у випадку неперервності чисто абсолютно неперервним або чисто сингулярним.

We study the properties of the distribution of the random variable \\ $$\xi=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}\tau_{k}}{a_1(a_1+1)a_2(a_2+1)...a_{n-1}(a_{n-1}+1)a_n},$$ where $(a_n)$ is a fixed consecutive positive integers, $(\tau_k)$ are random variables, which take two values 0 and 1 to form a homogeneous Markov chain. We have completely solved the problem of lebehivsku the distribution of the random variable $\xi$ (we studied the contents of a pure discrete, absolutely continuous and singular components). We have shown that the distribution of $\xi$ is a discrete or pure continuous. If the distribution is continuity it is purely absolutely continuous or purely singular.