Основи метричної теорiї зображення дiйсних чисел знакозмiнними рядами Люрота та найпростiшi застосування

Abstract

У даній роботі обґрунтовується, що довільне дійсне число $x\in(0,1]$ можна єдиним чином подати у вигляді знакозмінного ряду Люрота $$x=\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_1(a_1+1)a_2}+\dots+\frac{(-1)^{n-1}}{a_1(a_1+1)\dots a_{n-1}(a_{n-1}+1)a_n}+\dots, \text{ де $a_n\in \N$.}$$ Вивчено властивості циліндричних множин, геометричний зміст цифр, основне метричне відношення. Доведено метричну незалежність циліндрів $\widetilde{L}$-зображення. Описано тополого-метричнi властивостi множин з обмеженими $\widetilde{L}$-символами. Знайдено необхідні і достатні умови дискретності та канторовості розподілу випадкових величин з незалежними елементами розподілів в знакозмінні ряди Люрота.

In this paper we prove that any real number $x\in(0,1]$ can be uniquely represented in the from of alternating Luroth series $$x=\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_1(a_1+1)a_2}+\dots+\frac{(-1)^{n-1}}{a_1(a_1+1)\dots a_{n-1}(a_{n-1}+1)a_n}+\dots, \text{ where $a_n\in \N$.}$$ We studied the properties of cylindrical sets, geometric interpretation of digits, basic metric relation. We have proved metric independence of cylinders of $\widetilde{L}$-expansion. Metric and topological properties of sets with limiting $\widetilde{L}$-symbols. We have derived necessary and sufficient conditions for the discrete and Cantor distribution of random variables represented by the alternating L\"uroth series with independent elements.