Про різні методи знаходження скінченних сум

Abstract

При дослідженні різних наукових аспектів можна отримати одну й ту ж саму математичну модель, яка відповідає певній математичній задачі, якщо розглядати її з точки зору формальної постановки. Не менш актуальним є питання відшукання різних методів її розв’язування і вибору в певному розумінні оптимального з низки можливих. Ця проблема завжди цікавила математиків. Однією з таких задач є задача на знаходження скінченних сум, формулювання якої зустрічається в математичному аналізі, дискретній математиці, теорії ймовірностей тощо. Завдання на підсумовування пропонують на математичних олімпіадах різних рівнів. У роботі розглянуто різні методи розв’язування задачі знаходження скінченних сум, а саме: метод елементарних перетворень над виразами, методи диференціального та інтегрального числень, метод зведення до вже відомих сум, застосування скінченних різниць та різницевих рівнянь, теорії комплексних чисел. Описано можливості й особливості їх застосування, також обґрунтувано доцільність вибору обраного методу в умовах окремої задачі.

The research of different scientific aspects leads to the same mathematical model corresponding to a definite mathematical task if viewed from the point of its formal statement. To find different methods of calculating it, choosing the optimal one among the number of possible choices, seems to be quite acute. The problem has always been in the focus of mathematicians. One of such tasks found in mathematical analysis, discrete mathematics, probability calculus and other sciences is the calculation of the final sum. Summing tasks are offered at the mathematical Olympiads of different stages. The research deals with different methods of calculating the final sums, namely: the method of elementary transformations over expressions, the methods of differential and integral calculus, the method of reduction to already known sums, the application of finite differences and difference equations, the theory of complex numbers. The article deals description of possibilities and peculiarities of applying them, grounding the appropriateness of a definite method according to the task.