Узагальнення чисел Фібоначчі
Вантажиться...
Дата
2016
Назва журналу
Номер ISSN
Назва тому
Видавець
СумДПУ імені А. С. Макаренка
Анотація
Стаття присвячена властивостям деяких рекурентних послідовностей. В основу покладено послідовність чисел Фібоначчі та найважливіші їх властивості. Ця числова послідовність виникла з практичної задачі, розв ’язаної Фібоначчі у творі "Книга про абак".
Протягом історії розвитку математики діяльність вчених призвела до виникнення визначних математичних задач. Вони становлять інтерес при навчанні математики, тому пропонуємо їх розглядати.
Для порівняння з числами Фібоначчі наводяться властивості чисел Нарайани, до яких ми прийшли на основі задачі індійського математика Нарайани. Виокремлюємо арифметичні властивості чисел Нарайани (1-4), порівнюємо їх з відповідними властивостями чисел Фібоначчі та визначаємо закономірності у зміні кількості випадків (властивість 2) та кількості доданків (властивості 3 і 4). Фактично це перше узагальнення чисел Фібоначчі.
Оскільки розвиток теорії чисел Фібоначчі відбувається в напрямку поглибленого вивчення властивостей та їх узагальнення, розглядається деяке узагальнення чисел Фібоначчі. До нової числової послідовності призводить задача про пінгвінів. Пропонується рекурентна формула для обчислення членів цієї послідовності та визначаються її члени. Доводяться властивості узагальнених чисел Фібоначчі.
Розглядається застосування узагальнених чисел Фібоначчі до побудови нетрадиційної системи числення, за основу якої вибираються ці числа. Доводиться теорема про існування систематичного запису довільного натурального числа на основі леми про зв'язок цього числа з відповідним числом узагальненого ряду Фібоначчі. Показано побудову систематичного запису числа на прикладах.
The properties of some recurrent sequences are researched. The work is based on the Fibonacci sequence and its main properties. This number sequence emerged from a practical problem, which have been solved in Fibonacci's Liber Abaci. Throughout the history of mathematics numerous famous mathematical problems have appeared. They are of interest in teaching mathematics, therefore we advise considering them in this publication. The properties of the Fibonacci numbers are compared with the properties of the Narayana sequence, which have been obtained from the Narayana's problem. We separate arithmetical properties of Narayana numbers (1-4), compare them with correspondent properties of Fibonacci numbers and determine the regularities in number of cases (property 2) and number of summands (properties 3, 4) variation. In fact, it's the first generalization of the Fibonacci numbers. As far as development of the Fibonacci numbers theory consists in an advanced investigation of properties and their generalization, we consider one generalization of Fibonacci numbers. A new number sequence is obtained from the problem of penguins. The recurrence formula for calculation of the sequence members is advised and the sequence members are evaluated. The properties of the generalized Fibonacci numbers are proved. We also research the appliance of the generalized Fibonacci numbers in the construction of the alternative numbering system, which is based on these numbers. We prove the theorem of the existence of any natural number representation using the lemma of relation between this number and corresponding number in generalized Fibonacci series. The construction of number representation is shown in examples.
The properties of some recurrent sequences are researched. The work is based on the Fibonacci sequence and its main properties. This number sequence emerged from a practical problem, which have been solved in Fibonacci's Liber Abaci. Throughout the history of mathematics numerous famous mathematical problems have appeared. They are of interest in teaching mathematics, therefore we advise considering them in this publication. The properties of the Fibonacci numbers are compared with the properties of the Narayana sequence, which have been obtained from the Narayana's problem. We separate arithmetical properties of Narayana numbers (1-4), compare them with correspondent properties of Fibonacci numbers and determine the regularities in number of cases (property 2) and number of summands (properties 3, 4) variation. In fact, it's the first generalization of the Fibonacci numbers. As far as development of the Fibonacci numbers theory consists in an advanced investigation of properties and their generalization, we consider one generalization of Fibonacci numbers. A new number sequence is obtained from the problem of penguins. The recurrence formula for calculation of the sequence members is advised and the sequence members are evaluated. The properties of the generalized Fibonacci numbers are proved. We also research the appliance of the generalized Fibonacci numbers in the construction of the alternative numbering system, which is based on these numbers. We prove the theorem of the existence of any natural number representation using the lemma of relation between this number and corresponding number in generalized Fibonacci series. The construction of number representation is shown in examples.
Опис
Ключові слова
послідовність, числа, узагальнення, система числення, числа Фібоначчі, числа Нарайани, математична індукція, золотий переріз, sequence, numbers, generalization, numbering system, Fibonacci numbers, Narayana numbers, mathematical induction, golden section
Бібліографічний опис
Дідківська, Т. В. Узагальнення чисел Фібоначчі [Текст] / Т. В. Дідківська, І. А. Сверчевська // Актуальні питання природничо-математичної освіти : збірник наукових праць / Міністерство освіти і науки України, Сумський державний педагогічний ун-т ім. А. С. Макаренка ; [голова редкол. О. С. Чашечникова ; редкол.: В. Г. Бевз, Н. В. Бровка, В. Ватсон та ін.]. – Суми : [СумДПУ ім. А. С. Макаренка], 2016. – Вип. 7/8. – С. 19–26.